Номер 7, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 7, страница 36.

Условие.

Самостоятельная работа № 7

Квадратичная функция, её график и свойства

1. Постройте график функции $f(x) = x^2 + 2x - 3$. Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

3) множество решений неравенства: а) $f(x) \ge 0$; б) $f(x) < 0$;

4) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: а) $[-3; 4]$; б) $[1; 4]$.

2. Пусть $D$ — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$. Изобразите схематически график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если $a < 0$, $D > 0$, $c < 0$, $-\frac{b}{2a} < 0$.

3. При каких значениях параметра $a$ произведение корней уравнения $x^2 - 2ax + a^2 - 4a + 12 = 0$ принимает наименьшее значение?

Решение.

1.

Для построения графика функции $f(x) = x^2 + 2x - 3$ найдем её ключевые характеристики. Это квадратичная функция, её график — парабола.

1. Коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
$y_0 = f(x_0) = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Вершина находится в точке $(-1, -4)$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью $Oy$: $x=0$, $f(0) = 0^2 + 2(0) - 3 = -3$. Точка пересечения $(0, -3)$.
С осью $Ox$: $f(x)=0$, $x^2 + 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Точки пересечения $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.

Используя эти точки (вершина $(-1, -4)$, пересечения с осями $(0, -3)$, $(1, 0)$, $(-3, 0)$), можно построить график. Теперь, используя свойства графика, ответим на вопросы.

1) область значений функции;

Так как ветви параболы направлены вверх, а её вершина находится в точке $(-1, -4)$, наименьшее значение функции равно $-4$. Функция может принимать любые значения, большие или равные $-4$.

Ответ: $E(f) = [-4; +\infty)$.

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

Функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от вершины. Ось симметрии параболы — прямая $x = -1$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$ и возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.

3) множество решений неравенства: а) $f(x) \ge 0$; б) $f(x) < 0$;

а) $f(x) \ge 0$

Функция неотрицательна, когда её график находится на оси $Ox$ или выше неё. Это происходит на участках левее корня $x=-3$ и правее корня $x=1$, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$.

б) $f(x) < 0$

Функция отрицательна, когда её график находится ниже оси $Ox$. Это происходит между корнями $x=-3$ и $x=1$.

Ответ: $x \in (-3; 1)$.

4) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: а) [-3; 4]; б) [1; 4];

а) на промежутке [-3; 4]

Вершина параболы $x_0 = -1$ принадлежит этому промежутку. Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке совпадает со значением в вершине: $f_{наим} = f(-1) = -4$.
Чтобы найти наибольшее значение, вычислим значения функции на концах отрезка:
$f(-3) = (-3)^2 + 2(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$.
$f(4) = 4^2 + 2(4) - 3 = 16 + 8 - 3 = 21$.
Сравнивая значения, получаем $f_{наиб} = 21$.

Ответ: наименьшее значение равно $-4$, наибольшее значение равно $21$.

б) на промежутке [1; 4]

Вершина параболы $x_0 = -1$ не принадлежит этому промежутку. На промежутке $[1; 4]$ функция возрастает (так как он находится правее вершины). Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
$f_{наим} = f(1) = 1^2 + 2(1) - 3 = 0$.
$f_{наиб} = f(4) = 4^2 + 2(4) - 3 = 21$.

Ответ: наименьшее значение равно $0$, наибольшее значение равно $21$.

---

2.

Проанализируем заданные условия для функции $y = ax^2 + bx + c$:

1. $a < 0$: Коэффициент при $x^2$ отрицателен, значит, ветви параболы направлены вниз.

2. $D > 0$: Дискриминант положителен, значит, уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня. График функции пересекает ось $Ox$ в двух разных точках.

3. $c < 0$: Значение функции при $x=0$ равно $c$. Это означает, что парабола пересекает ось $Oy$ в точке с отрицательной ординатой, то есть ниже оси $Ox$.

4. $-\frac{b}{2a} < 0$: Это абсцисса вершины параболы ($x_0$). Таким образом, вершина параболы расположена левее оси $Oy$.

Соберем все факты вместе для схематического изображения:

Парабола с ветвями, направленными вниз, вершина которой находится в левой полуплоскости (во II или III координатной четверти). Так как парабола пересекает ось $Oy$ ниже начала координат (в точке $(0, c)$ где $c<0$) и имеет два корня ($D>0$), её вершина должна находиться во II координатной четверти (то есть $y_0 > 0$). Если бы вершина была в III четверти, то при ветвях вниз парабола не могла бы пересечь ось $Ox$.

Дополнительно можно определить знаки корней $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2 \cdot (-\frac{b}{2a})$. Так как $-\frac{b}{2a} < 0$, то и $x_1 + x_2 < 0$.
Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$. Так как $c < 0$ и $a < 0$, то их частное $\frac{c}{a} > 0$.
Если произведение двух чисел положительно, они имеют одинаковый знак. Так как их сумма отрицательна, оба корня отрицательны.

Ответ: Схематический график представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится во второй координатной четверти. График пересекает ось $Oy$ в точке ниже оси $Ox$. График пересекает ось $Ox$ в двух различных точках, обе из которых расположены на отрицательной части оси.

---

3.

Рассмотрим уравнение $x^2 - 2ax + a^2 - 4a + 12 = 0$.

Для того чтобы уравнение имело корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 4a + 12) = 4a^2 - 4a^2 + 16a - 48 = 16a - 48$.

Решим неравенство $D \ge 0$:
$16a - 48 \ge 0$
$16a \ge 48$
$a \ge 3$.
Таким образом, уравнение имеет корни только при $a \in [3; +\infty)$.

По теореме Виета, произведение корней $x_1 x_2$ для приведенного квадратного уравнения равно свободному члену.
Пусть $P(a)$ — произведение корней. Тогда:
$P(a) = a^2 - 4a + 12$.

Нам нужно найти наименьшее значение функции $P(a)$ на промежутке $[3; +\infty)$.
Функция $P(a)$ является квадратичной, её график — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $a^2$ равен 1, что больше 0). Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.
Найдем абсциссу вершины параболы $a_v$:
$a_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Вершина параболы находится в точке $a=2$. Однако, мы ищем наименьшее значение на промежутке $a \ge 3$. Точка $a=2$ не входит в этот промежуток.
Поскольку вершина находится в точке $a=2$, а ветви параболы направлены вверх, на промежутке $[3; +\infty)$ (который целиком лежит правее вершины) функция $P(a)$ монотонно возрастает.
Следовательно, наименьшее значение на этом промежутке функция $P(a)$ принимает в его левой граничной точке, то есть при $a=3$.

Ответ: $a=3$.