Номер 8, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 8, страница 37.

Условие.

Самостоятельная работа № 8

Решение квадратных неравенств

1. Решите неравенство:

1) $ -x^2 - x + 30 < 0; $

2) $ 3x^2 + 2x + 4 > 0; $

3) $ 16x^2 + 24x + 9 \le 0. $

2. Найдите область определения функции

$ y = \sqrt{x^2 - x - 30} + \frac{2x - 1}{\sqrt{36 - 4x}}. $

3. Решите неравенство $ |x^2 - 15| > x + 15. $

4. При каких значениях параметра $a$ неравенство $ ax^2 - 4x + a + 3 < 0 $ выполняется при всех действительных значениях $x$?

Решение.

1. 1)

Исходное неравенство: $-x^2 - x + 30 < 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 + x - 30 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 30 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение $-30$. Корни уравнения: $x_1 = -6$ и $x_2 = 5$.

Неравенство можно записать в виде $(x - 5)(x + 6) > 0$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 30$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-6$ и $x=5$. Значения функции положительны, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (5; +\infty)$.

1. 2)

Исходное неравенство: $3x^2 + 2x + 4 > 0$.

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 3x^2 + 2x + 4$. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 3 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 4 - 48 = -44$.

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение $3x^2 + 2x + 4 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола находится выше оси Ox. Таким образом, выражение $3x^2 + 2x + 4$ всегда положительно.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

1. 3)

Исходное неравенство: $16x^2 + 24x + 9 \leq 0$.

Левая часть неравенства является полным квадратом суммы: $16x^2 + 24x + 9 = (4x + 3)^2$.

Неравенство принимает вид: $(4x + 3)^2 \leq 0$.

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(4x + 3)^2 \geq 0$. Следовательно, неравенство $(4x + 3)^2 \leq 0$ выполняется только тогда, когда $(4x + 3)^2 = 0$.

Решим уравнение $4x + 3 = 0$, откуда $4x = -3$, $x = -3/4$.

Ответ: $x = -0.75$.

2.

Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - x - 30} + \frac{2x-1}{\sqrt{36-4x}}$ находится из системы условий:

$\begin{cases} x^2 - x - 30 \geq 0 \\ 36 - 4x > 0 \end{cases}$

1. Решим $x^2 - x - 30 \geq 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 30 = 0$: $x_1 = 6$, $x_2 = -5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty; -5] \cup [6; +\infty)$.

2. Решим $36 - 4x > 0$. Получаем $-4x > -36$, что равносильно $x < 9$. Решение: $x \in (-\infty; 9)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; -5] \cup [6; +\infty)) \cap (-\infty; 9)$.

Пересечение дает объединение интервалов: $(-\infty; -5] \cup [6; 9)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -5] \cup [6; 9)$.

3.

Неравенство $|x^2 - 15| > x + 15$ равносильно совокупности двух неравенств:

1) $x^2 - 15 > x + 15$

$x^2 - x - 30 > 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 30 = 0$ равны $x_1 = 6, x_2 = -5$. Решение: $x \in (-\infty; -5) \cup (6; +\infty)$.

2) $x^2 - 15 < -(x + 15)$

$x^2 - 15 < -x - 15 \Rightarrow x^2 + x < 0 \Rightarrow x(x+1) < 0$. Корни уравнения $x(x+1)=0$ равны $x_1 = 0, x_2 = -1$. Решение: $x \in (-1; 0)$.

Объединяя решения из пунктов 1) и 2), получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 0) \cup (6; +\infty)$.

4.

Неравенство $ax^2 - 4x + a + 3 < 0$ выполняется при всех действительных $x$, если график функции $y = ax^2 - 4x + a + 3$ (парабола) целиком лежит ниже оси Ox. Это происходит при выполнении системы условий:

$\begin{cases} a < 0 \text{ (ветви параболы вниз)} \\ D < 0 \text{ (нет пересечения с осью Ox)} \end{cases}$

Рассмотрим случай $a=0$: неравенство становится линейным $-4x+3<0$, или $x > 3/4$, что выполняется не для всех $x$.

Для $a \neq 0$, найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4a(a+3) = 16 - 4a^2 - 12a$.

Решим неравенство $D < 0$: $16 - 4a^2 - 12a < 0 \Rightarrow 4a^2 + 12a - 16 > 0 \Rightarrow a^2 + 3a - 4 > 0$.

Корни уравнения $a^2 + 3a - 4 = 0$: $a_1 = -4, a_2 = 1$. Решение неравенства: $a \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$.

Теперь решим систему: $\begin{cases} a < 0 \\ a \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty) \end{cases}$.

Пересечение этих множеств дает интервал $(-\infty; -4)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -4)$.