Номер 2, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 2, страница 33.

Условие.

Самостоятельная работа № 2

Возрастание и убывание функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции

1. На рисунке 5 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;

4) $\min_R f(x)$; $\max_R f(x)$;

5) $\min_{[-1;0]} f(x)$; $\max_{[-1;0]} f(x)$.

Рис. 5

2. Докажите, что функция $f(x) = \frac{7}{x-5}$ убывает на промежутке $(5; +\infty)$.

3. Найдите $\min_{D(f)} f(x)$ и $\max_{D(f)} f(x)$, если $f(x) = 7 - \sqrt{9 - x^2}$.

4. Возрастающая функция $f$ определена на множестве $R$. Возрастающей или убывающей является функция $f(g(x))$, если $g(x) = 2 - 5x$?

5. Решите уравнение $x^3 + 3\sqrt{5x + 4} = 10$.

Решение.

1) нули функции;
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y=f(x)$ равно нулю. Это происходит в точках пересечения графика с осью абсцисс (осью $Ox$).
Из графика видно, что функция пересекает ось $Ox$ в точках $x = -1$ и $x = 3$.
Ответ: $-1; 3$.

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
Значения функции положительны ($f(x) > 0$), когда её график расположен выше оси абсцисс.
Судя по графику, это происходит на интервале между нулями функции, то есть при $x \in (-1; 3)$.
Ответ: при $x \in (-1; 3)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
Функция возрастает, когда её график идёт вверх при движении слева направо. Функция убывает, когда её график идёт вниз.
Вершина параболы находится в точке $(1; 4)$.
- Функция возрастает на промежутке от $-\infty$ до абсциссы вершины: $(-\infty; 1]$.
- Функция убывает на промежутке от абсциссы вершины до $+\infty$: $[1; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$ и убывает на промежутке $[1; +\infty)$.

4) $\min_{R} f(x)$; $\max_{R} f(x)$;
- Наименьшее значение функции на множестве всех действительных чисел ($R$): так как ветви параболы направлены вниз, функция неограниченно убывает, и наименьшего значения не существует.
- Наибольшее значение функции на множестве всех действительных чисел ($R$): это значение функции в вершине параболы. Ордината вершины равна 4.
Ответ: $\min_{R} f(x)$ не существует; $\max_{R} f(x) = 4$.

5) $\min_{[-1;0]} f(x)$; $\max_{[-1;0]} f(x)$.
Рассмотрим поведение функции на отрезке $[-1; 0]$. Этот отрезок является частью промежутка возрастания функции $(-\infty; 1]$.
Следовательно, на отрезке $[-1; 0]$ функция возрастает. Наименьшее значение будет в начале отрезка, а наибольшее — в конце.
- $f(-1) = 0$ (минимальное значение на отрезке).
- $f(0) = 3$ (максимальное значение на отрезке).
Ответ: $\min_{[-1;0]} f(x) = 0$; $\max_{[-1;0]} f(x) = 3$.

2. Докажите, что функция $f(x) = \frac{7}{x-5}$ убывает на промежутке $(5; +\infty)$.
Чтобы доказать, что функция убывает на заданном промежутке, нужно показать, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
Пусть $x_1 \in (5; +\infty)$ и $x_2 \in (5; +\infty)$, и пусть $x_1 < x_2$.
Рассмотрим разность $f(x_1) - f(x_2)$:$f(x_1) - f(x_2) = \frac{7}{x_1 - 5} - \frac{7}{x_2 - 5} = 7 \left( \frac{1}{x_1 - 5} - \frac{1}{x_2 - 5} \right)$Приведем дроби к общему знаменателю:$7 \left( \frac{(x_2 - 5) - (x_1 - 5)}{(x_1 - 5)(x_2 - 5)} \right) = 7 \frac{x_2 - x_1}{(x_1 - 5)(x_2 - 5)}$Оценим знак полученного выражения:
1. Так как $x_1 < x_2$, то $x_2 - x_1 > 0$. Значит, числитель $7(x_2 - x_1)$ положителен.
2. Так как $x_1 > 5$ и $x_2 > 5$, то $x_1 - 5 > 0$ и $x_2 - 5 > 0$. Произведение двух положительных чисел положительно, значит, знаменатель $(x_1 - 5)(x_2 - 5)$ положителен.
Дробь, у которой числитель и знаменатель положительны, сама является положительной. Таким образом, $f(x_1) - f(x_2) > 0$, что равносильно $f(x_1) > f(x_2)$.
Мы доказали, что для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $(5; +\infty)$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$, следовательно, функция является убывающей на этом промежутке.
Ответ: Доказано.

3. Найдите $\min_{D(f)} f(x)$ и $\max_{D(f)} f(x)$, если $f(x) = 7 - \sqrt{9 - x^2}$.
Сначала найдем область определения функции $D(f)$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$9 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 9 \implies -3 \le x \le 3$.
Таким образом, $D(f) = [-3; 3]$.
Функция $f(x)$ принимает наибольшее значение, когда вычитаемое $\sqrt{9 - x^2}$ минимально. Минимальное значение $\sqrt{9 - x^2}$ равно $0$ (при $x=\pm3$).
$\max_{D(f)} f(x) = f(\pm3) = 7 - \sqrt{9 - (\pm3)^2} = 7 - \sqrt{0} = 7$.
Функция $f(x)$ принимает наименьшее значение, когда вычитаемое $\sqrt{9 - x^2}$ максимально. Максимальное значение $\sqrt{9 - x^2}$ достигается при $x=0$ и равно $\sqrt{9-0^2} = 3$.
$\min_{D(f)} f(x) = f(0) = 7 - \sqrt{9 - 0^2} = 7 - 3 = 4$.
Ответ: $\min_{D(f)} f(x) = 4$, $\max_{D(f)} f(x) = 7$.

4. Возрастающая функция $f$ определена на множестве $R$. Возрастающей или убывающей является функция $f(g(x))$, если $g(x) = 2 - 5x$?
Функция $f$ является возрастающей. Это значит, что если $t_1 < t_2$, то $f(t_1) < f(t_2)$.
Функция $g(x) = 2 - 5x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $k=-5$, следовательно, она является убывающей на всем множестве $R$. Это значит, что если $x_1 < x_2$, то $g(x_1) > g(x_2)$.
Рассмотрим сложную функцию $h(x) = f(g(x))$. Пусть $x_1 < x_2$.
1. Так как $g(x)$ убывающая, то из $x_1 < x_2$ следует, что $g(x_1) > g(x_2)$.
2. Обозначим $t_1 = g(x_1)$ и $t_2 = g(x_2)$. Мы получили, что $t_1 > t_2$.
3. Так как $f$ возрастающая, то из $t_2 < t_1$ следует, что $f(t_2) < f(t_1)$, то есть $f(g(x_2)) < f(g(x_1))$.
Итак, для $x_1 < x_2$ мы получили $h(x_2) < h(x_1)$, что по определению означает, что функция $h(x) = f(g(x))$ является убывающей.
Ответ: Убывающей.

5. Решите уравнение $x^3 + 3\sqrt{5x + 4} = 10$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$5x + 4 \ge 0 \implies 5x \ge -4 \implies x \ge -0.8$.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 3\sqrt{5x + 4}$ на ее области определения $x \in [-0.8; +\infty)$.
Функция $y_1 = x^3$ является возрастающей на всей числовой прямой.
Функция $y_2 = 3\sqrt{5x + 4}$ также является возрастающей на своей области определения как композиция двух возрастающих функций ($t=5x+4$ и $y=3\sqrt{t}$).
Сумма двух возрастающих функций есть функция возрастающая. Следовательно, $f(x)$ — строго возрастающая функция.
Это означает, что каждое свое значение она принимает только один раз, и уравнение $f(x) = 10$ может иметь не более одного корня.
Попробуем найти корень подбором.
Проверим $x=1$:
$1^3 + 3\sqrt{5 \cdot 1 + 4} = 1 + 3\sqrt{9} = 1 + 3 \cdot 3 = 1 + 9 = 10$.
$10 = 10$.
Значение $x=1$ является корнем уравнения. Так как корень может быть только один, то это и есть решение.
Ответ: $1$.