Номер 33, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 33, страница 31.

Условие.

Самостоятельная работа № 33

Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии

1. Геометрическая прогрессия ($b_n$) задана формулой $n$-го члена $b_n = 18 \cdot 3^{n-3}$. Найдите сумму восьми первых членов прогрессии.

2. Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии равна 2 912. Найдите $n$, если первый член прогрессии равен 8, а знаменатель прогрессии равен 3.

3. Для любого натурального $n$ сумму $n$ первых членов некоторой последовательности можно вычислить по формуле $S_n = 6(2^n - 1)$. Докажите, что данная последовательность является геометрической прогрессией.

Решение.

1.

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана формулой n-го члена $b_n = 18 \cdot 3^{n-3}$. Чтобы найти сумму восьми первых членов, нам нужно определить первый член прогрессии $b_1$ и ее знаменатель $q$.

Найдем первый член, подставив $n=1$ в формулу:

$b_1 = 18 \cdot 3^{1-3} = 18 \cdot 3^{-2} = 18 \cdot \frac{1}{3^2} = 18 \cdot \frac{1}{9} = 2$.

Найдем второй член, подставив $n=2$:

$b_2 = 18 \cdot 3^{2-3} = 18 \cdot 3^{-1} = 18 \cdot \frac{1}{3} = 6$.

Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению последующего члена к предыдущему:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{2} = 3$.

Теперь воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Нам нужно найти сумму восьми первых членов, то есть $n=8$. Подставим известные значения $b_1 = 2$ и $q = 3$:

$S_8 = \frac{2(3^8 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(3^8 - 1)}{2} = 3^8 - 1$.

Вычислим значение $3^8$:

$3^8 = (3^4)^2 = 81^2 = 6561$.

Теперь можем найти сумму:

$S_8 = 6561 - 1 = 6560$.

Ответ: 6560

2.

По условию задачи даны: сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии $S_n = 2912$, первый член $b_1 = 8$ и знаменатель $q = 3$. Необходимо найти количество членов $n$.

Используем формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим известные значения в эту формулу:

$2912 = \frac{8(3^n - 1)}{3 - 1}$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $n$:

$2912 = \frac{8(3^n - 1)}{2}$

$2912 = 4(3^n - 1)$.

Разделим обе части уравнения на 4:

$\frac{2912}{4} = 3^n - 1$

$728 = 3^n - 1$.

Прибавим 1 к обеим частям уравнения:

$729 = 3^n$.

Чтобы найти $n$, нужно определить, в какую степень следует возвести число 3, чтобы получить 729. Мы знаем, что $3^5 = 243$, тогда $3^6 = 243 \cdot 3 = 729$.

Следовательно, $n=6$.

Ответ: 6

3.

Чтобы доказать, что последовательность является геометрической прогрессией, необходимо показать, что отношение любого ее члена к предыдущему является постоянной величиной (знаменателем прогрессии $q$).

Формула для суммы $n$ первых членов последовательности задана как $S_n = 6(2^n - 1)$.

Найдем $n$-й член последовательности, обозначим его $b_n$. Для любого $n \ge 2$, $n$-й член равен разности суммы $n$ первых членов и суммы $n-1$ первых членов: $b_n = S_n - S_{n-1}$.

Первый член последовательности $b_1$ равен $S_1$:

$b_1 = S_1 = 6(2^1 - 1) = 6(1) = 6$.

Теперь найдем общую формулу для $b_n$ при $n \ge 2$:

$S_{n-1} = 6(2^{n-1} - 1)$.

$b_n = S_n - S_{n-1} = 6(2^n - 1) - 6(2^{n-1} - 1) = (6 \cdot 2^n - 6) - (6 \cdot 2^{n-1} - 6) = 6 \cdot 2^n - 6 \cdot 2^{n-1}$.

Упростим полученное выражение, вынеся за скобки общий множитель $6 \cdot 2^{n-1}$:

$b_n = 6 \cdot (2 \cdot 2^{n-1}) - 6 \cdot 2^{n-1} = 6 \cdot 2^{n-1} \cdot (2 - 1) = 6 \cdot 2^{n-1}$.

Таким образом, мы получили формулу $n$-го члена: $b_n = 6 \cdot 2^{n-1}$.

Эта формула имеет вид формулы $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1 = 6$ и $q = 2$.

Проверим, что эта формула верна и для $n=1$:

$b_1 = 6 \cdot 2^{1-1} = 6 \cdot 2^0 = 6 \cdot 1 = 6$, что совпадает с ранее найденным значением.

Для окончательного доказательства найдем отношение $\frac{b_n}{b_{n-1}}$:

$\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{6 \cdot 2^{n-1}}{6 \cdot 2^{(n-1)-1}} = \frac{2^{n-1}}{2^{n-2}} = 2^{(n-1)-(n-2)} = 2^1 = 2$.

Поскольку отношение любого члена последовательности (начиная со второго) к предыдущему постоянно и равно 2, данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1=6$ и знаменателем $q=2$.

Ответ: Доказано, что последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1=6$ и знаменателем $q=2$.