Номер 29, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 29, страница 29.

Условие.

Самостоятельная работа № 29

Числовые последовательности

1. Найдите три первых члена последовательности $(a_n)$, если $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 2a_n - 3$.

2. Последовательность $(y_n)$ задана формулой $n$-го члена $y_n = 3 - 5n$. Является ли членом этой последовательности число: 1) 23; 2) -247? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

3. Последовательность $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n = - n^2 + 5n - 5$. Найдите количество членов этой последовательности, которые больше числа -19.

4. Найдите все такие значения $a$, при которых последовательность, заданная условиями $x_1 = a$, $x_{n+1} = x_n^2 - 6x_n + 6$, является стационарной.

Решение.

1. Дана последовательность $(a_n)$, где $a_1 = 2$ и $a_{n+1} = 2a_n - 3$.

Найдем три первых члена последовательности.

Первый член задан по условию: $a_1 = 2$.

Второй член найдем, подставив $n=1$ в рекуррентную формулу:

$a_2 = 2a_1 - 3 = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$.

Третий член найдем, подставив $n=2$ в рекуррентную формулу:

$a_3 = 2a_2 - 3 = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1$.

Таким образом, первые три члена последовательности: 2, 1, -1.

Ответ: 2; 1; -1.

2. Последовательность $(y_n)$ задана формулой $y_n = 3 - 5n$. Проверим, являются ли числа 23 и -247 членами этой последовательности. Номер члена $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

1) Проверим число 23.

Приравняем $y_n$ к 23 и решим уравнение относительно $n$:

$23 = 3 - 5n$

$5n = 3 - 23$

$5n = -20$

$n = -4$

Поскольку $n = -4$ не является натуральным числом, число 23 не является членом данной последовательности.

2) Проверим число -247.

Приравняем $y_n$ к -247 и решим уравнение относительно $n$:

$-247 = 3 - 5n$

$5n = 3 - (-247)$

$5n = 3 + 247$

$5n = 250$

$n = 50$

Поскольку $n = 50$ является натуральным числом, число -247 является членом данной последовательности с номером 50.

Ответ: 1) нет; 2) да, номер члена 50.

3. Последовательность $(a_n)$ задана формулой $a_n = -n^2 + 5n - 5$. Найдем количество членов этой последовательности, которые больше числа -19.

Для этого необходимо решить неравенство $a_n > -19$, где $n$ – натуральное число.

$-n^2 + 5n - 5 > -19$

$-n^2 + 5n + 14 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$n^2 - 5n - 14 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 5n - 14 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $n_1 = -2$ и $n_2 = 7$.

Графиком функции $y = n^2 - 5n - 14$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между корнями, то есть при $-2 < n < 7$.

Поскольку $n$ – это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \ge 1$).

Выберем все натуральные числа из интервала $(-2, 7)$:

$n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Таким образом, существует 6 членов последовательности, которые больше числа -19.

Ответ: 6.

4. Последовательность задана условиями $x_1 = a$ и $x_{n+1} = x_n^2 - 6x_n + 6$.

Последовательность является стационарной, если все ее члены равны друг другу: $x_1 = x_2 = x_3 = \dots = x_n = x_{n+1} = \dots$.

Это означает, что для любого $n$ должно выполняться равенство $x_{n+1} = x_n$.

Подставим это условие в рекуррентную формулу:

$x_n = x_n^2 - 6x_n + 6$

Так как $x_1 = a$ и последовательность стационарна, то все ее члены равны $a$. Заменим $x_n$ на $a$:

$a = a^2 - 6a + 6$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$a^2 - 6a - a + 6 = 0$

$a^2 - 7a + 6 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, корни уравнения:

$a_1 = 1$, $a_2 = 6$.

Таким образом, последовательность будет стационарной при $a = 1$ или $a = 6$.

Ответ: 1; 6.