Номер 1, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 1, страница 33.

Условие.

Самостоятельная работа № 1

Функция

1. Найдите область определения функции

$f(x) = \sqrt{2x - 3} + \frac{1}{x^2 - x - 6}$

2. Найдите область значений функции:

1) $y = 2 + \frac{x^3}{x}$;

2) $y = \frac{x - 3}{x^2}$.

3. Даны функции $f(x) = 3x - 2$ и $g(x) = x^2 - 1$. Задайте формулой функцию: 1) $g(5x)$; 2) $f(g(x))$.

4. Постройте график функции $y = \frac{12 - 3x}{x^2 - 4x}$.

5. Известно, что $D(f) = [-2; 4]$. Найдите область определения функции $y = f(x - 1)$.

Решение.

1. Найдите область определения функции $f(x) = \sqrt{2x - 3} + \frac{1}{x^2 - x - 6}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция состоит из двух слагаемых, поэтому для нахождения области определения необходимо, чтобы оба слагаемых были определены.

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $2x - 3 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - x - 6 \neq 0$.

Решим эти два условия в виде системы:

$\begin{cases} 2x - 3 \ge 0 \\ x^2 - x - 6 \neq 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем: $2x \ge 3$, откуда $x \ge 1.5$.

Чтобы решить второе условие, найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Отсюда корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq -2$.

Теперь объединим все условия: $x \ge 1.5$, $x \neq 3$ и $x \neq -2$. Условие $x \neq -2$ автоматически выполняется, так как мы рассматриваем только $x \ge 1.5$.

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные 1.5, за исключением числа 3.

В виде интервала это записывается как $[1.5, 3) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = [1.5, 3) \cup (3, +\infty)$.

2. Найдите область значений функции:

1) $y = 2 + \frac{x^3}{x}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель $x$ не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.

При $x \neq 0$ функцию можно упростить, сократив дробь на $x$: $y = 2 + x^2$.

Графиком функции $y = 2 + x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0, 2)$, ветви которой направлены вверх. Область значений для такой параболы — это промежуток $[2, +\infty)$.

Однако исходная функция не определена в точке $x = 0$. Это означает, что значение $y = 2 + 0^2 = 2$ не достигается. Точка $(0, 2)$ является "выколотой" на графике.

Поскольку $x^2 > 0$ для любого $x \neq 0$, то $2 + x^2$ всегда будет строго больше 2.

Следовательно, область значений функции — это все числа, строго большие 2.

Ответ: $E(y) = (2, +\infty)$.

2) $y = \frac{x - 3}{x^2}$

Область определения функции: $x \neq 0$.

Чтобы найти область значений, выясним, какие значения может принимать $y$. Пусть $y = k$, где $k$ — некоторое число. Тогда мы получаем уравнение: $k = \frac{x - 3}{x^2}$.

Так как $x \neq 0$, можно умножить обе части на $x^2$: $kx^2 = x - 3$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$: $kx^2 - x + 3 = 0$.

Это уравнение должно иметь хотя бы одно действительное решение для $x$.

Случай 1: $k = 0$. Уравнение становится линейным: $-x + 3 = 0$, откуда $x = 3$. Решение существует, значит $y=0$ входит в область значений.

Случай 2: $k \neq 0$. Уравнение является квадратным. Оно имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен: $D \ge 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot k \cdot 3 = 1 - 12k$.

Решим неравенство $1 - 12k \ge 0$:

$1 \ge 12k$

$k \le \frac{1}{12}$.

Объединяя оба случая ($k=0$ и $k \le \frac{1}{12}$), получаем, что $y$ может принимать любые значения $y \le \frac{1}{12}$.

Ответ: $E(y) = (-\infty, \frac{1}{12}]$.

3. Даны функции $f(x) = 3x - 2$ и $g(x) = x^2 - 1$. Задайте формулой функцию:

1) $g(5x)$

Чтобы найти $g(5x)$, нужно в формулу для функции $g(x)$ вместо аргумента $x$ подставить выражение $5x$.

$g(x) = x^2 - 1$

$g(5x) = (5x)^2 - 1 = 25x^2 - 1$.

Ответ: $g(5x) = 25x^2 - 1$.

2) $f(g(x))$

Чтобы найти композицию функций $f(g(x))$, нужно в формулу для функции $f(x)$ вместо аргумента $x$ подставить выражение для функции $g(x)$.

$f(x) = 3x - 2$

$g(x) = x^2 - 1$

$f(g(x)) = f(x^2 - 1) = 3(x^2 - 1) - 2 = 3x^2 - 3 - 2 = 3x^2 - 5$.

Ответ: $f(g(x)) = 3x^2 - 5$.

4. Постройте график функции $y = \frac{12 - 3x}{x^2 - 4x}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 - 4x \neq 0 \implies x(x - 4) \neq 0$.

Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 4$. Область определения: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

$y = \frac{12 - 3x}{x^2 - 4x} = \frac{-3(x - 4)}{x(x - 4)}$

Так как $x \neq 4$, мы можем сократить дробь на $(x - 4)$:

$y = -\frac{3}{x}$

3. Анализ и построение графика. График нашей функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{3}{x}$ во всех точках, кроме $x=4$.

График $y = -\frac{3}{x}$ — это гипербола, расположенная во II и IV координатных четвертях. Оси координат являются ее асимптотами: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

В точке $x=4$ исходная функция не определена. Найдем ординату "выколотой" точки, подставив $x=4$ в упрощенную формулу:

$y = -\frac{3}{4} = -0.75$.

Следовательно, на графике функции будет разрыв — "выколотая" точка с координатами $(4, -0.75)$.

Построение:

- Строим гиперболу $y = -3/x$. Для этого можно отметить несколько точек, например, $(1, -3)$, $(3, -1)$, $(-1, 3)$, $(-3, 1)$.

- На полученной гиперболе отмечаем "выколотую" точку (незакрашенный кружок) с координатами $(4, -0.75)$.

Ответ: Графиком является гипербола $y = -3/x$ с выколотой точкой $(4, -0.75)$.

5. Известно, что $D(f) = [-2; 4]$. Найдите область определения функции $y = f(x - 1)$

Область определения функции $f(x)$, обозначаемая как $D(f)$, — это множество значений, которые может принимать ее аргумент. По условию, для функции $f$ аргумент может принимать значения из отрезка $[-2, 4]$.

В функции $y = f(x - 1)$ аргументом является выражение $(x - 1)$.

Следовательно, чтобы функция $y = f(x - 1)$ была определена, ее аргумент $(x-1)$ должен принадлежать области определения функции $f$. То есть, должно выполняться двойное неравенство:

$-2 \le x - 1 \le 4$

Чтобы найти значения $x$, прибавим 1 ко всем трем частям неравенства:

$-2 + 1 \le (x - 1) + 1 \le 4 + 1$

$-1 \le x \le 5$

Таким образом, область определения функции $y = f(x-1)$ — это отрезок $[-1, 5]$.

Геометрически, график функции $y = f(x-1)$ получается из графика $y = f(x)$ сдвигом на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Соответственно, и ее область определения сдвигается на 1 вправо: $[-2+1, 4+1] = [-1, 5]$.

Ответ: $D(y) = [-1, 5]$.