Номер 30, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 30, страница 30.

Условие.

Самостоятельная работа № 30

Арифметическая прогрессия

1. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии –3,6; –3,3; –3; ...

2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_5 + a_{13} = 38$ и $a_4 + a_8 = 29$.

3. При каком значении $b$ значения выражений $3b+1$, $4b-1$, $b^2+b$ и $b^2+b+1$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите эти члены прогрессии.

Решение.

1.

Дана арифметическая прогрессия: -3,6; -3,3; -3; ...

Первый член этой прогрессии $a_1 = -3,6$.

Найдем разность прогрессии $d$, вычтя из второго члена первый:

$d = a_2 - a_1 = -3,3 - (-3,6) = -3,3 + 3,6 = 0,3$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Чтобы найти первый положительный член, необходимо найти наименьшее натуральное число $n$, при котором $a_n > 0$.

Составим и решим неравенство:

$-3,6 + (n-1) \cdot 0,3 > 0$

Перенесем -3,6 в правую часть:

$(n-1) \cdot 0,3 > 3,6$

Разделим обе части на 0,3:

$n-1 > \frac{3,6}{0,3}$

$n-1 > 12$

$n > 13$

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 14. Следовательно, 14-й член прогрессии является первым положительным.

Найдем значение этого члена:

$a_{14} = a_1 + (14-1)d = -3,6 + 13 \cdot 0,3 = -3,6 + 3,9 = 0,3$.

Ответ: 0,3.

2.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

По условию даны два равенства:

1) $a_5 + a_{13} = 38$

2) $a_4 + a_8 = 29$

Выразим каждый из указанных членов прогрессии через $a_1$ и $d$:

$a_5 = a_1 + 4d$

$a_{13} = a_1 + 12d$

$a_4 = a_1 + 3d$

$a_8 = a_1 + 7d$

Подставим эти выражения в исходные равенства, чтобы получить систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} (a_1 + 4d) + (a_1 + 12d) = 38 \\ (a_1 + 3d) + (a_1 + 7d) = 29 \end{cases}$

Упростим оба уравнения:

$\begin{cases} 2a_1 + 16d = 38 \\ 2a_1 + 10d = 29 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на 2 для удобства:

$\begin{cases} a_1 + 8d = 19 \\ 2a_1 + 10d = 29 \end{cases}$

Решим систему методом вычитания. Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 2:

$(2a_1 + 10d) - 2(a_1 + 8d) = 29 - 2 \cdot 19$

$2a_1 + 10d - 2a_1 - 16d = 29 - 38$

$-6d = -9$

$d = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2} = 1,5$

Теперь найдем $a_1$, подставив найденное значение $d$ в уравнение $a_1 + 8d = 19$:

$a_1 + 8 \cdot 1,5 = 19$

$a_1 + 12 = 19$

$a_1 = 19 - 12 = 7$

Ответ: первый член $a_1 = 7$, разность $d = 1,5$.

3.

Пусть данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии: $x_1 = 3b+1$, $x_2 = 4b-1$, $x_3 = b^2+b$ и $x_4 = b^2+b+1$.

Основное свойство арифметической прогрессии состоит в том, что разность между любыми двумя соседними членами постоянна. Эта разность называется разностью прогрессии $d$.

Таким образом, должны выполняться равенства: $d = x_2 - x_1 = x_3 - x_2 = x_4 - x_3$.

Найдем каждую из этих разностей:

1) $x_2 - x_1 = (4b-1) - (3b+1) = 4b - 1 - 3b - 1 = b - 2$.

2) $x_3 - x_2 = (b^2+b) - (4b-1) = b^2 + b - 4b + 1 = b^2 - 3b + 1$.

3) $x_4 - x_3 = (b^2+b+1) - (b^2+b) = b^2 + b + 1 - b^2 - b = 1$.

Из третьего выражения мы видим, что разность прогрессии $d$ должна быть равна 1.

Приравняем первые две разности к 1, чтобы найти значение $b$:

$b - 2 = 1 \implies b = 3$.

$b^2 - 3b + 1 = 1 \implies b^2 - 3b = 0 \implies b(b-3) = 0$. Решениями этого уравнения являются $b=0$ и $b=3$.

Единственное значение $b$, которое удовлетворяет всем условиям одновременно, это $b=3$.

Теперь найдем сами члены прогрессии, подставив $b=3$ в исходные выражения:

$x_1 = 3(3)+1 = 9+1 = 10$.

$x_2 = 4(3)-1 = 12-1 = 11$.

$x_3 = (3)^2+3 = 9+3 = 12$.

$x_4 = (3)^2+3+1 = 9+3+1 = 13$.

Полученные члены 10, 11, 12, 13 действительно образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=1$.

Ответ: при $b=3$; члены прогрессии: 10, 11, 12, 13.