Номер 23, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 23, страница 27.

Условие.

Самостоятельная работа № 23

Основные правила комбинаторики.

Перестановки

1. Сколькими способами можно составить расписание 6 уроков из 6 различных учебных предметов?

2. Сколько пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5?

3. Сколько чётных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы в каждом числе цифры были различными?

4. В гараже есть 7 грузовых машин, 8 легковых машин и 5 мотоциклов. Сколькими способами их можно расставить в ряд так, чтобы все грузовые машины стояли рядом, все легковые машины стояли рядом и все мотоциклы стояли рядом?

Решение.

1. Данная задача заключается в определении количества способов упорядочивания 6 различных учебных предметов на 6 позициях в расписании. Это классическая задача на перестановки без повторений. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле:
$P_n = n!$
Для $n=6$ предметов получаем:
$P_6 = 6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720$
Следовательно, существует 720 различных вариантов расписания.
Ответ: 720

2. Необходимо найти количество пятизначных чисел, которые можно составить из набора цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Поскольку в условии не сказано, что цифры не должны повторяться, мы предполагаем, что повторения разрешены. Пятизначное число имеет 5 разрядов.
- На первую позицию (старший разряд) можно поставить любую цифру из набора, кроме 0 (иначе число не будет пятизначным). Таким образом, для первой цифры есть 5 вариантов: {1, 2, 3, 4, 5}.
- На каждую из следующих четырёх позиций (вторую, третью, четвертую и пятую) можно поставить любую из 6 предложенных цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Используя правило произведения, общее количество возможных пятизначных чисел равно:
$5 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 5 \times 6^4 = 5 \times 1296 = 6480$
Ответ: 6480

3. Нужно найти количество чётных шестизначных чисел, составленных из цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6} так, чтобы все цифры в числе были различны. Число является чётным, если его последняя цифра — чётная. В данном наборе есть три чётные цифры: {2, 4, 6}.
- Начнём с последней цифры (разряд единиц). Для неё есть 3 возможных варианта (2, 4 или 6).
- После того как мы выбрали последнюю цифру, у нас остаётся 5 цифр для заполнения оставшихся 5 позиций. Количество способов расставить 5 различных цифр по 5 позициям равно числу перестановок из 5 элементов, то есть $5!$.
$5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$
По правилу произведения, общее количество таких чисел равно произведению числа вариантов для последней цифры и числа перестановок для остальных цифр:
$3 \times 5! = 3 \times 120 = 360$
Ответ: 360

4. По условию задачи, все транспортные средства одного типа должны стоять рядом. Мы можем рассматривать каждую группу (грузовики, легковые машины, мотоциклы) как один единый объект или блок.
Шаг 1: Перестановка блоков. У нас есть 3 таких блока. Количество способов их расставить в ряд равно числу перестановок из 3 элементов:
$P_3 = 3! = 6$ способов.
Шаг 2: Перестановки внутри блоков. Внутри каждого блока транспортные средства также можно переставлять.
- 7 грузовых машин можно переставить между собой $7!$ способами: $7! = 5040$.
- 8 легковых машин можно переставить $8!$ способами: $8! = 40320$.
- 5 мотоциклов можно переставить $5!$ способами: $5! = 120$.
Шаг 3: Общее количество способов. По правилу произведения, чтобы найти общее число способов расстановки, нужно перемножить количество перестановок блоков и количество перестановок внутри каждого блока:
$N = 3! \times 7! \times 8! \times 5! = 6 \times 5040 \times 40320 \times 120 = 146313216000$
Ответ: $3! \times 7! \times 8! \times 5! = 146313216000$