Номер 19, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 19, страница 25.

Условие.

Самостоятельная работа № 19

Математическое моделирование

1. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 50 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 ч. Найдите скорость каждого велосипедиста, если один из них потратил на путь из одного села в другое на 1 ч 40 мин меньше, чем другой.

2. Две бригады, работая одновременно, могут отремонтировать дорогу за 6 ч. Если же сначала первая бригада самостоятельно отремонтирует $\frac{3}{5}$ дороги, а потом вторая — оставшуюся часть дороги, то весь ремонт будет выполнен за 12 ч. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно?

3. В двух сплавах массы меди и олова относятся как 3 : 4 и 1 : 6 соответственно. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить 42 кг нового сплава, в котором массы меди и олова относятся как 5 : 16?

Решение.

1. Пусть скорость первого велосипедиста равна $v_1$ км/ч, а скорость второго – $v_2$ км/ч. Расстояние между сёлами $S = 50$ км.

Велосипедисты ехали навстречу друг другу и встретились через $t_{встр} = 2$ часа. За это время они вместе преодолели всё расстояние. Скорость сближения равна $v_1 + v_2$. Составим первое уравнение:
$(v_1 + v_2) \cdot t_{встр} = S$
$(v_1 + v_2) \cdot 2 = 50$
$v_1 + v_2 = 25$

Время, которое первый велосипедист тратит на весь путь, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{50}{v_1}$. Время второго – $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{50}{v_2}$. По условию, один из них потратил на путь на 1 ч 40 мин меньше, чем другой. Переведём разницу во времени в часы: $1 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 1 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{5}{3}$ ч.
Допустим, первый велосипедист ехал быстрее ($v_1 > v_2$), тогда его время в пути меньше ($t_1 < t_2$). Составим второе уравнение:
$t_2 - t_1 = \frac{5}{3}$
$\frac{50}{v_2} - \frac{50}{v_1} = \frac{5}{3}$

Получили систему из двух уравнений:
$\begin{cases} v_1 + v_2 = 25 \\ \frac{50}{v_2} - \frac{50}{v_1} = \frac{5}{3} \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $v_2 = 25 - v_1$ и подставим во второе уравнение:
$\frac{50}{25 - v_1} - \frac{50}{v_1} = \frac{5}{3}$
Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:
$\frac{10}{25 - v_1} - \frac{10}{v_1} = \frac{1}{3}$
Приведём левую часть к общему знаменателю:
$\frac{10v_1 - 10(25 - v_1)}{v_1(25 - v_1)} = \frac{1}{3}$
$\frac{10v_1 - 250 + 10v_1}{25v_1 - v_1^2} = \frac{1}{3}$
$\frac{20v_1 - 250}{25v_1 - v_1^2} = \frac{1}{3}$
Используя свойство пропорции, получаем:
$3(20v_1 - 250) = 25v_1 - v_1^2$
$60v_1 - 750 = 25v_1 - v_1^2$
$v_1^2 + 35v_1 - 750 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 35^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-750) = 1225 + 3000 = 4225 = 65^2$
$v_1 = \frac{-35 \pm \sqrt{4225}}{2} = \frac{-35 \pm 65}{2}$
$v_{1,1} = \frac{-35 + 65}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$v_{1,2} = \frac{-35 - 65}{2} = -50$. Этот корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.
Итак, скорость первого велосипедиста $v_1 = 15$ км/ч.
Тогда скорость второго велосипедиста $v_2 = 25 - v_1 = 25 - 15 = 10$ км/ч.
Ответ: Скорость одного велосипедиста 15 км/ч, а другого – 10 км/ч.

2. Пусть первая бригада может отремонтировать всю дорогу самостоятельно за $x$ часов, а вторая – за $y$ часов. Тогда производительность первой бригады равна $\frac{1}{x}$ дороги в час, а второй – $\frac{1}{y}$ дороги в час.

Работая вместе, они ремонтируют дорогу за 6 часов. Их совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Составим первое уравнение:
$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 6 = 1 \implies \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

По второму условию, первая бригада выполнила $\frac{3}{5}$ всей работы. Время, затраченное на это, равно $t_1 = \frac{3/5}{1/x} = \frac{3x}{5}$ часов.
Вторая бригада выполнила оставшуюся часть работы: $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$. Время, затраченное на это, равно $t_2 = \frac{2/5}{1/y} = \frac{2y}{5}$ часов.
Общее время работы составило 12 часов. Составим второе уравнение:
$t_1 + t_2 = 12 \implies \frac{3x}{5} + \frac{2y}{5} = 12$
Умножим обе части на 5: $3x + 2y = 60$.

Получили систему уравнений:
$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ 3x + 2y = 60 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$: $2y = 60 - 3x \implies y = \frac{60 - 3x}{2}$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{(60 - 3x)/2} = \frac{1}{6} \implies \frac{1}{x} + \frac{2}{60 - 3x} = \frac{1}{6}$
Приведём к общему знаменателю:
$\frac{60 - 3x + 2x}{x(60 - 3x)} = \frac{1}{6}$
$\frac{60 - x}{60x - 3x^2} = \frac{1}{6}$
$6(60 - x) = 60x - 3x^2$
$360 - 6x = 60x - 3x^2$
$3x^2 - 66x + 360 = 0$
Разделим на 3: $x^2 - 22x + 120 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 10$, $x_2 = 12$.
Рассмотрим оба случая:
1) Если $x = 10$, то $y = \frac{60 - 3 \cdot 10}{2} = \frac{30}{2} = 15$.
2) Если $x = 12$, то $y = \frac{60 - 3 \cdot 12}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
Оба решения подходят под условия задачи.
Ответ: Одна бригада может отремонтировать дорогу за 10 часов, а другая за 15 часов, либо обе бригады могут выполнить работу за 12 часов каждая.

3. Пусть для получения нового сплава взяли $x$ кг первого сплава и $y$ кг второго сплава.

Масса нового сплава равна 42 кг, следовательно, $x + y = 42$.

Определим содержание меди и олова в каждом сплаве.
В первом сплаве соотношение меди и олова 3:4. Всего $3+4=7$ частей.
Содержание меди: $\frac{3}{7}$. Содержание олова: $\frac{4}{7}$.
Во втором сплаве соотношение 1:6. Всего $1+6=7$ частей.
Содержание меди: $\frac{1}{7}$. Содержание олова: $\frac{6}{7}$.

В новом сплаве массой 42 кг соотношение меди и олова 5:16. Всего $5+16=21$ часть.
Масса меди в новом сплаве: $\frac{5}{21} \cdot 42 = 10$ кг.
Масса олова в новом сплаве: $\frac{16}{21} \cdot 42 = 32$ кг.

Составим уравнение для общей массы меди. Масса меди из первого сплава ($\frac{3}{7}x$) и из второго ($\frac{1}{7}y$) в сумме дают 10 кг:
$\frac{3}{7}x + \frac{1}{7}y = 10$
Умножим обе части на 7: $3x + y = 70$.

Получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} x + y = 42 \\ 3x + y = 70 \end{cases}$
Вычтем из второго уравнения первое:
$(3x + y) - (x + y) = 70 - 42$
$2x = 28$
$x = 14$
Теперь найдём $y$:
$y = 42 - x = 42 - 14 = 28$.
Следовательно, нужно взять 14 кг первого сплава и 28 кг второго.
Ответ: Нужно взять 14 кг первого сплава и 28 кг второго.