Номер 15, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 15, страница 24.

Условие.

Самостоятельная работа № 15

Неравенства с двумя переменными

Постройте график неравенства:

1) $y \leq -x^2 + 4x - 3$;

2) $xy > 4$;

3) $(x - 3y + 2)(x + y - 3) < 0$;

4) $\frac{y - 2x^2}{|y - 2|} < 0$.

Решение.

1) Чтобы построить график неравенства $y \le -x^2 + 4x - 3$, сначала построим график соответствующего равенства $y = -x^2 + 4x - 3$. Это уравнение параболы.
Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$).
Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.
$y_v = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$.
Вершина находится в точке $(2, 1)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $-x^2 + 4x - 3 = 0$:
$x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.
Неравенство $y \le -x^2 + 4x - 3$ означает, что искомые точки лежат на параболе или ниже неё. Так как знак неравенства нестрогий ($\le$), граница (сама парабола) включается в решение и изображается сплошной линией.
Ответ: Графиком является область, расположенная ниже параболы $y = -x^2 + 4x - 3$, включая саму параболу.

2) Рассмотрим неравенство $xy > 4$. Границей является график функции $xy = 4$, или $y = \frac{4}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
Так как неравенство строгое ($>$), точки на самой гиперболе не являются решением, поэтому её следует изображать пунктирной линией.
Неравенство $xy > 4$ можно проанализировать в двух случаях:
1. Если $x > 0$, то $y > \frac{4}{x}$. Это область, расположенная выше ветви гиперболы в I четверти.
2. Если $x < 0$, то при делении на отрицательное число знак неравенства меняется: $y < \frac{4}{x}$. Это область, расположенная ниже ветви гиперболы в III четверти.
Ответ: Графиком является объединение двух областей: области над ветвью гиперболы $y = \frac{4}{x}$ в первой координатной четверти и области под ветвью этой же гиперболы в третьей координатной четверти. Границы не включаются.

3) Рассмотрим неравенство $(x - 3y + 2)(x + y - 3) < 0$. Произведение двух множителей отрицательно, когда они имеют разные знаки. Границами областей являются прямые $x - 3y + 2 = 0$ и $x + y - 3 = 0$.
Перепишем уравнения прямых в виде $y = f(x)$:
$l_1: y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$
$l_2: y = -x + 3$
Эти прямые делят плоскость на четыре области. Так как неравенство строгое ($<$), сами прямые не входят в решение и изображаются пунктирными линиями.
Решение соответствует двум системам неравенств:
1. $\begin{cases} x - 3y + 2 > 0 \\ x + y - 3 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y < \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \\ y < -x + 3 \end{cases}$
2. $\begin{cases} x - 3y + 2 < 0 \\ x + y - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y > \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \\ y > -x + 3 \end{cases}$
Решением является объединение областей, заданных этими двумя системами. Это две вертикальные (не смежные) области, образованные пересечением прямых.
Ответ: Графиком является объединение двух открытых углов, образованных пересекающимися прямыми $y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$ и $y = -x + 3$. Одна область лежит "над" обеими прямыми, а другая "под" обеими прямыми.

4) Рассмотрим неравенство $\frac{y - 2x^2}{|y - 2|} < 0$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $|y - 2| \neq 0$, что означает $y \neq 2$.
По определению модуля, $|y - 2| > 0$ для всех $y \neq 2$.
Так как знаменатель дроби всегда положителен (в пределах ОДЗ), то для того, чтобы вся дробь была отрицательной, необходимо, чтобы числитель был отрицательным:
$y - 2x^2 < 0 \implies y < 2x^2$.
Таким образом, решением является система:
$\begin{cases} y < 2x^2 \\ y \neq 2 \end{cases}$
Графиком $y = 2x^2$ является парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y < 2x^2$ задает область под этой параболой.
Так как неравенство строгое ($<$), граница (парабола) не включается в решение и изображается пунктирной линией.
Дополнительное условие $y \neq 2$ означает, что из полученной области нужно исключить все точки, лежащие на горизонтальной прямой $y = 2$. Эта прямая также изображается пунктирной линией (или "выкалывается" из заштрихованной области).
Ответ: Графиком является область, расположенная ниже параболы $y = 2x^2$, из которой исключены точки самой параболы и точки прямой $y = 2$.