Номер 11, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 11, страница 22.

Условие.

Самостоятельная работа № 11

Уравнение с двумя переменными и его график

1. Постройте график уравнения:

1) $x^2 + y^2 - 8x + 4y + 20 = 0$;

2) $x^2 - 9y^2 = 0$;

3) $|y + 3| = \sqrt{x}$;

4) $\frac{x^2 + y^2 - 25}{y^2 - 9} = 0$.

2. Решите уравнение $(x^2 + 4x + 7)(y^2 - 6y + 11) = 6$.

Решение.

1) $x^2 + y^2 - 8x + 4y + 20 = 0$
Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 8x) + (y^2 + 4y) + 20 = 0$.
Дополним до полных квадратов: $(x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 20 = 0$.
$(x - 4)^2 - 16 + (y + 2)^2 - 4 + 20 = 0$.
$(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 0$.
Это уравнение является уравнением окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$.
В нашем случае центр окружности находится в точке $(4, -2)$, а радиус $R = \sqrt{0} = 0$.
Окружность с нулевым радиусом представляет собой одну точку. Таким образом, графиком данного уравнения является точка с координатами $(4, -2)$.
Ответ: Графиком является точка $(4, -2)$.

2) $x^2 - 9y^2 = 0$
Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для левой части уравнения:
$(x - 3y)(x + 3y) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:
$x - 3y = 0$ или $x + 3y = 0$.
Выразим $y$ в каждом уравнении:
1) $y = \frac{1}{3}x$
2) $y = -\frac{1}{3}x$
Графиком каждого из этих линейных уравнений является прямая, проходящая через начало координат. Таким образом, графиком исходного уравнения является пара пересекающихся в начале координат прямых.
Ответ: Графиком является пара пересекающихся прямых $y = \frac{1}{3}x$ и $y = -\frac{1}{3}x$.

3) $|y + 3| = \sqrt{x}$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$. Модуль в левой части также всегда неотрицателен.
Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не нарушая равносильности:
$(|y + 3|)^2 = (\sqrt{x})^2$
$(y + 3)^2 = x$
Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке $(0, -3)$, ветви которой направлены вправо (вдоль положительного направления оси Ox). Условие ОДЗ $x \ge 0$ выполняется автоматически, так как $(y + 3)^2 \ge 0$ для любого $y$.
Ответ: Графиком является парабола $x = (y+3)^2$ с вершиной в точке $(0, -3)$ и ветвями, направленными вправо.

4) $\frac{x^2 + y^2 - 25}{y^2 - 9} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это равносильно системе условий:
$\begin{cases} x^2 + y^2 - 25 = 0 \\ y^2 - 9 \ne 0 \end{cases}$
Рассмотрим первое уравнение: $x^2 + y^2 = 25$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.
Рассмотрим второе условие: $y^2 - 9 \ne 0 \implies y^2 \ne 9 \implies y \ne 3$ и $y \ne -3$.
Это означает, что из графика окружности $x^2 + y^2 = 25$ нужно исключить все точки, у которых ордината равна 3 или -3.
Найдем абсциссы этих точек:
- Если $y = 3$, то $x^2 + 3^2 = 25 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4$. Исключаем точки $(4, 3)$ и $(-4, 3)$.
- Если $y = -3$, то $x^2 + (-3)^2 = 25 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4$. Исключаем точки $(4, -3)$ и $(-4, -3)$.
Таким образом, график уравнения — это окружность с центром в $(0,0)$ и радиусом 5 с четырьмя "выколотыми" точками.
Ответ: Графиком является окружность $x^2 + y^2 = 25$ с исключенными точками $(4, 3)$, $(-4, 3)$, $(4, -3)$ и $(-4, -3)$.

2. Решите уравнение $(x^2 + 4x + 7)(y^2 - 6y + 11) = 6$.
Проанализируем каждый из множителей в левой части уравнения, выделив полные квадраты.
Для первого множителя: $x^2 + 4x + 7 = (x^2 + 4x + 4) + 3 = (x+2)^2 + 3$.
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(x+2)^2 \ge 0$, следовательно, наименьшее значение первого множителя равно 3 (достигается при $x = -2$). То есть, $x^2 + 4x + 7 \ge 3$.
Для второго множителя: $y^2 - 6y + 11 = (y^2 - 6y + 9) + 2 = (y-3)^2 + 2$.
Аналогично, $(y-3)^2 \ge 0$, следовательно, наименьшее значение второго множителя равно 2 (достигается при $y = 3$). То есть, $y^2 - 6y + 11 \ge 2$.
Произведение левой части уравнения имеет наименьшее значение, равное $3 \cdot 2 = 6$.
$(x^2 + 4x + 7)(y^2 - 6y + 11) \ge 6$.
Согласно исходному уравнению, это произведение равно 6. Равенство возможно только в том случае, когда каждый из множителей принимает свое наименьшее значение. Это приводит к системе уравнений:
$\begin{cases} x^2 + 4x + 7 = 3 \\ y^2 - 6y + 11 = 2 \end{cases}$
Решаем первое уравнение:
$(x+2)^2 + 3 = 3 \implies (x+2)^2 = 0 \implies x+2 = 0 \implies x = -2$.
Решаем второе уравнение:
$(y-3)^2 + 2 = 2 \implies (y-3)^2 = 0 \implies y-3 = 0 \implies y = 3$.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $(-2, 3)$.