Номер 6, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 6, страница 21.

Условие.

Самостоятельная работа № 6

Построение графиков функций $y = f(|x|)$ и $y = |f(x)|$

1. Постройте график функции:

1) $y = |\sqrt{x} - 4|;$ 3) $y = \sqrt{x - 4};$

2) $y = \sqrt{|x| - 4};$ 4) $y = \sqrt{|x| - 4} - 4.$

2. Функция $f$ такова, что $D(f) = [-6; 2)$ и $E(f) = [-5; 3)$.

Найдите область определения и область значений функции $|f(|x|)|$.

3. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|3|x| - 1| = a - x$ имеет три корня?

Решение.

1. Постройте график функции:

1) $y = |\sqrt{x} - 4|$

Для построения графика этой функции воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Сначала построим график базовой функции $y_1 = \sqrt{x}$. Это стандартная ветвь параболы, выходящая из точки $(0; 0)$ и проходящая через точки $(1; 1)$, $(4; 2)$, $(16; 4)$. Область определения: $x \ge 0$.
2. Далее построим график функции $y_2 = \sqrt{x} - 4$. Этот график получается из графика $y_1 = \sqrt{x}$ сдвигом на 4 единицы вниз по оси $Oy$. Начальная точка графика смещается в $(0; -4)$. График пересекает ось $Ox$ в точке, где $y_2=0$, то есть $\sqrt{x} - 4 = 0$, откуда $\sqrt{x}=4$ и $x=16$.
3. Наконец, строим искомый график $y = |\sqrt{x} - 4| = |y_2|$. Это преобразование означает, что часть графика $y_2$, которая находится ниже оси $Ox$ (где $y_2 < 0$), симметрично отражается относительно оси $Ox$, а часть графика, которая находится выше или на оси $Ox$ (где $y_2 \ge 0$), остается без изменений.

Часть графика $y_2 = \sqrt{x} - 4$ для $x \in [0; 16)$ находится ниже оси $Ox$. Отражаем ее. Точка $(0; -4)$ переходит в точку $(0; 4)$. Точка $(16; 0)$ остается на месте. Часть графика для $x \ge 16$ остается без изменений. В итоге, график функции $y = |\sqrt{x} - 4|$ выходит из точки $(0; 4)$, опускается до точки $(16; 0)$, а затем поднимается вверх.

Ответ: График функции получается из графика $y = \sqrt{x}$, сдвинутого на 4 единицы вниз, с последующим симметричным отражением части графика, лежащей ниже оси абсцисс, относительно этой оси.

2) $y = \sqrt{|x|} - 4$

Это функция вида $y = f(|x|)$, где $f(x) = \sqrt{x} - 4$.

1. Сначала строим график функции $y_1 = \sqrt{x} - 4$ для $x \ge 0$. Как мы выяснили в предыдущем пункте, это ветвь параболы, выходящая из точки $(0; -4)$ и пересекающая ось $Ox$ в точке $(16; 0)$.
2. Для построения графика $y = f(|x|)$ необходимо часть графика $f(x)$ для $x \ge 0$ оставить без изменений, а затем симметрично отразить ее относительно оси $Oy$ для получения части графика при $x < 0$.

Таким образом, мы берем график $y_1 = \sqrt{x} - 4$ и добавляем его зеркальное отражение относительно оси $Oy$. Полученный график симметричен относительно оси ординат, имеет минимум в точке $(0; -4)$ и пересекает ось абсцисс в точках $(-16; 0)$ и $(16; 0)$. Область определения функции — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), так как $|x| \ge 0$ всегда.

Ответ: График функции симметричен относительно оси $Oy$. Он получается из графика $y = \sqrt{x} - 4$ (для $x \ge 0$) и его симметричного отражения относительно оси $Oy$. Минимальное значение достигается в точке $(0; -4)$.

3) $y = \sqrt{|x - 4|}$

Для построения этого графика рассмотрим два случая, раскрывая модуль:

1. Если $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$, то $|x-4| = x-4$, и функция принимает вид $y = \sqrt{x-4}$. Это стандартная функция квадратного корня, сдвинутая на 4 единицы вправо по оси $Ox$. График начинается в точке $(4; 0)$ и идет вправо и вверх.
2. Если $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$, то $|x-4| = -(x-4) = 4-x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{4-x}$. Этот график получается из графика $y=\sqrt{-x}$ (который симметричен $y=\sqrt{x}$ относительно оси $Oy$) сдвигом на 4 единицы вправо. Он также начинается в точке $(4; 0)$ и идет влево и вверх.

Объединяя эти две части, получаем график, состоящий из двух ветвей, выходящих из точки $(4; 0)$. График симметричен относительно вертикальной прямой $x=4$.

Ответ: График состоит из двух ветвей, симметричных относительно прямой $x=4$ и выходящих из общей точки $(4; 0)$.

4) $y = \sqrt{|x - 4|} - 4$

Этот график получается из графика функции $y = \sqrt{|x - 4|}$, построенного в предыдущем пункте, путем сдвига всего графика на 4 единицы вниз по оси $Oy$.

График из пункта 3) имел "вершину" в точке $(4; 0)$. Следовательно, новый график будет иметь "вершину" в точке $(4; -4)$. Он также будет состоять из двух ветвей, симметричных относительно прямой $x=4$ и выходящих из точки $(4; -4)$, направленных вверх.

Ответ: График функции из пункта 3), сдвинутый на 4 единицы вниз. "Вершина" графика находится в точке $(4; -4)$.

---

2. Функция $f$ такова, что $D(f) = [-6; 2]$ и $E(f) = [-5; 3]$. Найдите область определения и область значений функции $|f(|x|)|$.

Пусть $g(x) = |f(|x|)|$.

Область определения функции $g(x)$:
Функция $g(x)$ определена, если аргумент функции $f$, то есть $|x|$, принадлежит области определения функции $f$. Таким образом, должно выполняться условие: $|x| \in D(f)$, или $|x| \in [-6; 2]$. Это двойное неравенство можно разбить на систему: $ \begin{cases} |x| \ge -6 \\ |x| \le 2 \end{cases} $ Неравенство $|x| \ge -6$ выполняется для любого действительного числа $x$, так как модуль всегда неотрицателен. Неравенство $|x| \le 2$ эквивалентно $-2 \le x \le 2$. Пересечением решений является промежуток $[-2; 2]$. Следовательно, область определения функции $g(x)$ есть $D(g) = [-2; 2]$.

Область значений функции $g(x)$:
Найдем, какие значения может принимать выражение $g(x) = |f(|x|)|$. 1. Сначала рассмотрим аргумент функции $f$. Когда $x$ пробегает область определения $D(g) = [-2; 2]$, выражение $|x|$ пробегает значения от $0$ до $2$. То есть, $|x| \in [0; 2]$. 2. Теперь найдем, какие значения принимает функция $f(t)$ при $t = |x| \in [0; 2]$. Поскольку промежуток $[0; 2]$ является частью области определения $D(f) = [-6; 2]$, то множество значений $f(t)$ на этом промежутке будет некоторым подмножеством всей области значений $E(f) = [-5; 3]$. В отсутствие дополнительной информации о функции $f$ для нахождения единственного ответа мы должны предположить, что на отрезке $[0; 2]$ функция $f$ принимает все свои возможные значения из $E(f)$, то есть от $-5$ до $3$. 3. Итак, будем считать, что когда $|x|$ пробегает отрезок $[0; 2]$, $f(|x|)$ пробегает отрезок $[-5; 3]$. 4. Наконец, мы берем модуль от этих значений. Нам нужно найти множество значений $|y|$ для $y \in [-5; 3]$. Минимальное значение $|y|$ достигается при $y=0$ (так как $0 \in [-5; 3]$) и равно $0$. Максимальное значение $|y|$ будет равно $\max(|-5|, |3|) = \max(5, 3) = 5$. Таким образом, область значений функции $g(x)$ есть $E(g) = [0; 5]$.

Ответ: Область определения: $D = [-2; 2]$. Область значений: $E = [0; 5]$.

---

3. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|3|x| - 1| = a - x$ имеет три корня?

Решим эту задачу графически. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = |3|x| - 1|$ и $y = a - x$.

1. Построим график функции $y = |3|x| - 1|$.

• $y_1 = 3x - 1$: прямая.
• $y_2 = 3|x| - 1$: график $y_1$ для $x \ge 0$ и его отражение относительно оси $Oy$. Получается "галочка" с вершиной в точке $(0; -1)$.
• $y = |3|x| - 1|$: часть графика $y_2$, лежащая ниже оси $Ox$, отражается вверх. Вершина $(0; -1)$ переходит в $(0; 1)$. Точки пересечения с осью $Ox$ ($3|x|-1=0 \implies |x|=1/3 \implies x=\pm1/3$) остаются на месте. График имеет форму буквы "W".

Ключевые точки графика $y = |3|x| - 1|$: "пик" в $(0; 1)$ и "впадины" в $(-1/3; 0)$ и $(1/3; 0)$.

2. Проанализируем график функции $y = a - x$.

Это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом (наклоном) $k=-1$. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой вдоль оси $Oy$ ( $a$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$).

3. Найдем количество точек пересечения.

Будем перемещать прямую $y = a - x$ сверху вниз (уменьшая $a$) и считать количество точек пересечения с графиком "W".

• При очень больших $a$ прямая находится высоко и пересекает две крайние ветви "W". Итог: 2 корня.
• Уменьшаем $a$. В некоторый момент прямая пройдет через "пик" $(0; 1)$. Подставим координаты точки в уравнение прямой: $1 = a - 0 \implies a = 1$. При $a=1$ прямая $y=1-x$ пересекает график в точке $(0; 1)$. Также она пересекает две крайние ветви в точках $x=1/2$ и $x=-1$. Итог: 3 корня.
• Если $a$ еще немного уменьшить ($a < 1$), прямая пересечет все четыре ветви "W". Итог: 4 корня.
• Это продолжается до тех пор, пока прямая не пройдет через одну из "впадин". Рассмотрим прохождение через правую впадину $(1/3; 0)$. Подставим в уравнение прямой: $0 = a - 1/3 \implies a = 1/3$. При $a=1/3$ прямая $y=1/3-x$ проходит через точку $(1/3; 0)$. Она также пересекает две левые ветви "W" (в точках $x=-1/6$ и $x=-2/3$). Итог: 3 корня.
• Если $1/3 < a < 1$, то будет 4 корня.
• Если $a < 1/3$, прямая проходит ниже правой "впадины". Количество корней уменьшается до 2 (пересечение с двумя левыми ветвями и одной правой, самой дальней). А нет, пересечение с двумя крайними ветвями. Итог: 2 корня.
• При дальнейшем уменьшении $a$, прямая пройдет через левую "впадину" $(-1/3; 0)$. Подставим: $0 = a - (-1/3) \implies a = -1/3$. В этом случае прямая $y=-1/3-x$ касается графика в этой точке, но не пересекает его в других местах (так как наклон прямой $-1$ находится между наклонами ветвей "W" в этой точке: $-3$ и $3$). Итог: 1 корень.
• При $a < -1/3$ пересечений нет. Итог: 0 корней.

Таким образом, уравнение имеет ровно три корня при двух значениях параметра $a$.

Ответ: $a = 1/3$ и $a = 1$.