Номер 35, страница 17 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 35, страница 17.

Условие.

Самостоятельная работа № 35

Суммирование

1. Найдите сумму $ \frac{4}{3} + \frac{19}{9} + \frac{82}{27} + \dots + \frac{3^n \cdot n + 1}{3^n} $

2. Найдите сумму $ \left(2+\frac{1}{2}\right)^2 + \left(2^2+\frac{1}{2^2}\right)^2 + \left(2^3+\frac{1}{2^3}\right)^2 + \dots + \left(2^n+\frac{1}{2^n}\right)^2 $

3. Найдите сумму $ \frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 15} + \dots + \frac{1}{(4n - 1) \cdot (4n + 3)} $

Решение.

1. Найдем общий член суммы $S_n = \frac{4}{3} + \frac{19}{9} + \frac{82}{27} + \dots + \frac{3^n \cdot n + 1}{3^n}$. Общий член ряда имеет вид $a_k = \frac{3^k \cdot k + 1}{3^k}$ для $k$ от 1 до $n$. Преобразуем выражение для общего члена: $a_k = \frac{3^k \cdot k}{3^k} + \frac{1}{3^k} = k + \left(\frac{1}{3}\right)^k$. Тогда искомую сумму можно представить в виде суммы двух рядов: $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \left(k + \left(\frac{1}{3}\right)^k\right) = \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{3}\right)^k$. Первое слагаемое – это сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии: $\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$. Второе слагаемое – это сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = \frac{1}{3}$ и знаменателем $q = \frac{1}{3}$: $\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{3}\right)^k = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}(1 - \frac{1}{3^n})}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right)$. Складывая обе части, получаем: $S_n = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right) = \frac{n^2+n}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^n} = \frac{n^2+n+1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^n}$.
Ответ: $S_n = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right)$.

2. Найдем сумму $S_n = \left(2 + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(2^2 + \frac{1}{2^2}\right)^2 + \left(2^3 + \frac{1}{2^3}\right)^2 + \dots + \left(2^n + \frac{1}{2^n}\right)^2$. Общий член ряда имеет вид $a_k = \left(2^k + \frac{1}{2^k}\right)^2$ для $k$ от 1 до $n$. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$: $a_k = (2^k)^2 + 2 \cdot 2^k \cdot \frac{1}{2^k} + \left(\frac{1}{2^k}\right)^2 = 2^{2k} + 2 + \frac{1}{2^{2k}} = 4^k + 2 + \left(\frac{1}{4}\right)^k$. Тогда искомая сумма $S_n$ равна: $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \left(4^k + 2 + \left(\frac{1}{4}\right)^k\right) = \sum_{k=1}^{n} 4^k + \sum_{k=1}^{n} 2 + \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{4}\right)^k$. Вычислим каждую сумму отдельно: 1. $\sum_{k=1}^{n} 4^k$ — сумма геометрической прогрессии с $b_1 = 4, q = 4$. $S_1 = \frac{4(4^n-1)}{4-1} = \frac{4}{3}(4^n-1)$. 2. $\sum_{k=1}^{n} 2 = 2n$. 3. $\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{4}\right)^k$ — сумма геометрической прогрессии с $b_1 = \frac{1}{4}, q = \frac{1}{4}$. $S_3 = \frac{\frac{1}{4}(1 - (\frac{1}{4})^n)}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{4^n})}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}\left(1 - \frac{1}{4^n}\right)$. Сложим все три части: $S_n = \frac{4}{3}(4^n-1) + 2n + \frac{1}{3}\left(1 - \frac{1}{4^n}\right) = \frac{4^{n+1}-4}{3} + 2n + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 4^n} = \frac{4^{n+1}}{3} - 1 + 2n - \frac{1}{3 \cdot 4^n}$.
Ответ: $S_n = \frac{4}{3}(4^n-1) + 2n + \frac{1}{3}\left(1 - \frac{1}{4^n}\right)$.

3. Найдем сумму $S_n = \frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 15} + \dots + \frac{1}{(4n-1)(4n+3)}$. Это телескопическая сумма. Общий член ряда $a_k = \frac{1}{(4k-1)(4k+3)}$ для $k$ от 1 до $n$. Представим общий член в виде разности двух дробей (метод неопределенных коэффициентов): $\frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{A}{4k-1} + \frac{B}{4k+3}$. Приводя к общему знаменателю, получаем $1 = A(4k+3) + B(4k-1)$. Из этого равенства следует, что $A = \frac{1}{4}$ и $B = -\frac{1}{4}$. Таким образом, $a_k = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3}\right)$. Теперь запишем сумму: $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3}\right) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3}\right)$. Распишем слагаемые суммы: $S_n = \frac{1}{4} \left[ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{11}\right) + \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{15}\right) + \dots + \left(\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3}\right) \right]$. Все промежуточные члены взаимно уничтожаются. Остаются только первый и последний член: $S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3} \right)$. Упростим выражение: $S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{4n+3-3}{3(4n+3)} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{4n}{3(4n+3)} \right) = \frac{n}{3(4n+3)}$.
Ответ: $S_n = \frac{n}{3(4n+3)}$.