Номер 28, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 28, страница 15.

Условие.

Самостоятельная работа № 28

Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики

1. В пенале лежат 12 ручек, из которых 5 синих. Какова вероятность того, что выбранные наугад 3 ручки окажутся синими?

2. В коробке лежат 14 синих карточек, 7 зелёных карточек и 9 белых карточек. Наугад выбирают 10 карточек. Какова вероятность того, что среди выбранных карточек будут 5 синих, 2 зелёных и 3 белых?

3. Наугад выбирают 4 буквы из слова «ДОРОГА». Какова вероятность того, что из выбранных четырёх букв можно составить слово «ГОРА»?

Решение.

1.

Для решения задачи используем классическую формулу вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число возможных исходов, а $m$ – число благоприятных исходов.

Общее число способов выбрать 3 ручки из 12, имеющихся в пенале, равно числу сочетаний из 12 по 3. Порядок выбора ручек не важен.

$n = C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$

Таким образом, существует 220 способов выбрать 3 ручки из 12.

Число благоприятных исходов – это количество способов выбрать 3 синие ручки из 5 имеющихся синих ручек.

$m = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Следовательно, существует 10 способов выбрать 3 синие ручки.

Теперь найдем вероятность того, что все три выбранные ручки окажутся синими:

$P = \frac{m}{n} = \frac{10}{220} = \frac{1}{22}$

Ответ: $\frac{1}{22}$

2.

Используем классическую формулу вероятности $P = \frac{m}{n}$.

Сначала найдем общее количество карточек в коробке: $14$ (синих) $+ 7$ (зелёных) $+ 9$ (белых) $= 30$ карточек.

Общее число возможных исходов $n$ – это количество способов выбрать 10 карточек из 30.

$n = C_{30}^{10} = \frac{30!}{10!(30-10)!} = \frac{30!}{10!20!} = 30045015$

Число благоприятных исходов $m$ – это количество способов выбрать 5 синих, 2 зелёных и 3 белых карточки. По правилу произведения в комбинаторике, мы должны перемножить количество способов выбора карточек каждого цвета.

Количество способов выбрать 5 синих карточек из 14: $C_{14}^5 = \frac{14!}{5!9!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2002$

Количество способов выбрать 2 зелёные карточки из 7: $C_7^2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$

Количество способов выбрать 3 белые карточки из 9: $C_9^3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$

Общее число благоприятных исходов:

$m = C_{14}^5 \cdot C_7^2 \cdot C_9^3 = 2002 \cdot 21 \cdot 84 = 3531528$

Теперь найдем искомую вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{3531528}{30045015}$

Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 9, 7, 11, 13.

$P = \frac{3531528 : 9009}{30045015 : 9009} = \frac{392}{3335}$

Ответ: $\frac{392}{3335}$

3.

Используем классическую формулу вероятности $P = \frac{m}{n}$.

Слово «ДОРОГА» состоит из 6 букв: Д, О, Р, О, Г, А. В нем есть две одинаковые буквы «О».

Общее число исходов $n$ – это количество способов выбрать 4 буквы из 6 имеющихся. Чтобы учесть повторяющиеся буквы, будем временно считать их различными (О1 и О2).

$n = C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

Таким образом, существует 15 различных наборов по 4 буквы, которые можно выбрать.

Благоприятный исход – это выбор такого набора из четырёх букв, из которого можно составить слово «ГОРА». Для этого необходимо выбрать буквы Г, О, Р, А.

Найдем число способов $m$ выбрать этот набор букв:

- Выбрать букву «Г» можно одним способом (она одна): $C_1^1 = 1$.

- Выбрать букву «Р» можно одним способом (она одна): $C_1^1 = 1$.

- Выбрать букву «А» можно одним способом (она одна): $C_1^1 = 1$.

- Выбрать букву «О» можно двумя способами, так как в слове «ДОРОГА» две буквы «О»: $C_2^1 = 2$.

По правилу произведения, число благоприятных исходов равно:

$m = C_1^1 \cdot C_1^1 \cdot C_1^1 \cdot C_2^1 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2$

Теперь найдем вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{2}{15}$

Ответ: $\frac{2}{15}$