Номер 23, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 23, страница 13.

Условие.

Самостоятельная работа № 23

Основные правила комбинаторики. Перестановки

1. Сколькими способами можно распределить 12 карандашей между 12 учениками?

2. Сколько шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

3. Сколько нечётных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 так, чтобы в каждом числе цифры были различными?

4. У Саши есть 5 книг по истории, 6 книг по биологии и 3 книги по математике. Сколькими способами он может расставить эти книги на полке так, чтобы книги по одному предмету стояли рядом?

Решение.

1. Эта задача о количестве перестановок. У нас есть 12 учеников и 12 карандашей (предполагается, что все карандаши различны, или что мы различаем, какой именно карандаш достался какому ученику). Первому ученику можно дать любой из 12 карандашей, второму — любой из оставшихся 11, третьему — из 10, и так далее. Общее число способов равно числу перестановок из 12 элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В данном случае $n=12$.

Число способов равно $P_{12} = 12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 479 \, 001 \, 600$.

Ответ: $479 \, 001 \, 600$ способов.

2. Нам нужно составить шестизначное число, используя цифры {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Всего 7 цифр. Так как в условии не сказано, что цифры должны быть различными, мы предполагаем, что их можно повторять.

Шестизначное число состоит из 6 позиций.
На первую (старшую) позицию нельзя ставить 0, иначе число не будет шестизначным. Поэтому для первой позиции есть 6 вариантов (1, 2, 3, 4, 5, 6).
На каждую из оставшихся пяти позиций можно поставить любую из 7 доступных цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), так как повторения разрешены.

Используя правило умножения в комбинаторике, общее количество шестизначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$6 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 6 \cdot 7^5 = 6 \cdot 16807 = 100 \, 842$.

Ответ: $100 \, 842$ числа.

3. Требуется составить нечётное четырёхзначное число из цифр 1, 2, 3, 4, причём все цифры в числе должны быть различны.

Число является нечётным, если его последняя цифра нечётная. В нашем наборе {1, 2, 3, 4} нечётными являются цифры 1 и 3.
Рассмотрим процесс составления числа по позициям, начиная с ограничения:
1. Выбор последней цифры (разряд единиц): есть 2 варианта (1 или 3), чтобы число было нечётным.
2. После выбора последней цифры, у нас остаётся 3 неиспользованные цифры из четырёх. Для первой цифры (разряд тысяч) есть 3 варианта выбора.
3. Для второй цифры (разряд сотен) остаётся 2 варианта, так как две цифры уже использованы.
4. Для третьей цифры (разряд десятков) остаётся последний 1 вариант.

По правилу умножения, общее количество таких чисел равно произведению вариантов для каждой позиции:
$2 \text{ (для последней цифры)} \times 3 \text{ (для первой)} \times 2 \text{ (для второй)} \times 1 \text{ (для третьей)} = 12$.

Ответ: 12 чисел.

4. Необходимо расставить 5 книг по истории, 6 по биологии и 3 по математике так, чтобы книги по одному предмету стояли вместе.

Решим задачу в два этапа:
1. Сначала будем считать группы книг по каждому предмету как единые блоки. У нас есть 3 блока: [книги по истории], [книги по биологии], [книги по математике]. Количество способов расставить эти 3 блока на полке равно числу перестановок из 3 элементов: $P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
2. Теперь рассмотрим расстановки книг внутри каждого блока. Книги в пределах одного предмета можно переставлять между собой.
- 5 книг по истории можно переставить $5!$ способами: $5! = 120$.
- 6 книг по биологии можно переставить $6!$ способами: $6! = 720$.
- 3 книги по математике можно переставить $3!$ способами: $3! = 6$.

Чтобы найти общее число способов, нужно перемножить количество способов расстановки блоков и количество способов расстановок книг внутри каждого блока (согласно правилу умножения):

Общее число способов = (число перестановок блоков) $\times$ (число перестановок в 1-м блоке) $\times$ (число перестановок во 2-м блоке) $\times$ (число перестановок в 3-м блоке)
$N = 3! \cdot 5! \cdot 6! \cdot 3! = 6 \cdot 120 \cdot 720 \cdot 6 = 3 \, 110 \, 400$.

Ответ: $3 \, 110 \, 400$ способов.