Номер 21, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 21, страница 12.

Условие.

Самостоятельная работа № 21

Абсолютная и относительная погрешности

1. Запишите в виде двойного неравенства:

1) $x = 12 \pm 0,2;$

2) $x = \frac{2}{3} \pm \frac{1}{4};$

3) $x = 16,4 \pm 4.$

2. Найдите абсолютную погрешность приближения числа

$\frac{1}{6}$ числом:

1) $0,16;$

2) $0,167.$

3. В справочнике указано, что плотность кислорода равна $1,429 \cdot 10^{-3}$ г/см$^3$. С какой точностью указано приближённое значение плотности кислорода?

4. В справочнике указано, что масса атома алюминия равна $4,48 \cdot 10^{-26}$ кг. Оцените относительную погрешность этого приближения.

Решение.

1) Запись вида $x = a \pm h$ означает, что значение $x$ находится в пределах от $a - h$ до $a + h$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $a - h \le x \le a + h$.
Для $x = 12 \pm 0,2$:
Нижняя граница: $12 - 0,2 = 11,8$.
Верхняя граница: $12 + 0,2 = 12,2$.
Таким образом, неравенство имеет вид: $11,8 \le x \le 12,2$.
Ответ: $11,8 \le x \le 12,2$.

2) Для $x = \frac{2}{3} \pm \frac{1}{4}$ сначала приведем дроби к общему знаменателю, равному 12.
$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$
$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$
Теперь запись имеет вид: $x = \frac{8}{12} \pm \frac{3}{12}$.
Нижняя граница: $\frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$.
Верхняя граница: $\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$.
Таким образом, неравенство имеет вид: $\frac{5}{12} \le x \le \frac{11}{12}$.
Ответ: $\frac{5}{12} \le x \le \frac{11}{12}$.

3) Для $x = 16,4 \pm 4$:
Нижняя граница: $16,4 - 4 = 12,4$.
Верхняя граница: $16,4 + 4 = 20,4$.
Таким образом, неравенство имеет вид: $12,4 \le x \le 20,4$.
Ответ: $12,4 \le x \le 20,4$.

2. Абсолютная погрешность $\Delta$ приближения — это модуль разности между точным значением $a$ и его приближенным значением $x$. Формула: $\Delta = |a - x|$. В данном случае точное значение $a = \frac{1}{6}$.

1) Найдем абсолютную погрешность для приближенного значения $x = 0,16$.
$\Delta = |\frac{1}{6} - 0,16| = |\frac{1}{6} - \frac{16}{100}| = |\frac{1}{6} - \frac{4}{25}|$.
Приведем к общему знаменателю 150:
$\Delta = |\frac{1 \cdot 25}{6 \cdot 25} - \frac{4 \cdot 6}{25 \cdot 6}| = |\frac{25}{150} - \frac{24}{150}| = |\frac{1}{150}| = \frac{1}{150}$.
Ответ: $\frac{1}{150}$.

2) Найдем абсолютную погрешность для приближенного значения $x = 0,167$.
$\Delta = |\frac{1}{6} - 0,167| = |\frac{1}{6} - \frac{167}{1000}|$.
Приведем к общему знаменателю 3000:
$\Delta = |\frac{1 \cdot 500}{6 \cdot 500} - \frac{167 \cdot 3}{1000 \cdot 3}| = |\frac{500}{3000} - \frac{501}{3000}| = |-\frac{1}{3000}| = \frac{1}{3000}$.
Ответ: $\frac{1}{3000}$.

3. Точность измерения (абсолютная погрешность) для числа, записанного в стандартном виде, по умолчанию принимается равной половине единицы последнего значащего разряда мантиссы.
Приближенное значение плотности кислорода $p \approx 1,429 \cdot 10^{-3}$ г/см³. Мантисса числа — $1,429$. Последняя значащая цифра (9) стоит в разряде тысячных ($0,001$).
Точность для мантиссы равна: $\frac{0,001}{2} = 0,0005$.
Чтобы найти точность для всего значения, нужно умножить это число на степенную часть:
Точность $= 0,0005 \cdot 10^{-3}$ г/см³ $= 5 \cdot 10^{-4} \cdot 10^{-3} = 5 \cdot 10^{-7}$ г/см³.
Ответ: Точность составляет $0,0005 \cdot 10^{-3}$ г/см³ или $5 \cdot 10^{-7}$ г/см³.

4. Относительная погрешность $\epsilon$ вычисляется по формуле $\epsilon = \frac{\Delta}{|a|}$, где $\Delta$ — абсолютная погрешность, а $a$ — приближенное значение.
Приближенное значение массы атома алюминия $m \approx 4,48 \cdot 10^{-26}$ кг.
Сначала найдем абсолютную погрешность $\Delta$. Последняя значащая цифра мантиссы (8) стоит в разряде сотых ($0,01$).
Абсолютная погрешность: $\Delta = \frac{0,01}{2} \cdot 10^{-26} = 0,005 \cdot 10^{-26}$ кг.
Теперь найдем относительную погрешность:
$\epsilon = \frac{0,005 \cdot 10^{-26}}{|4,48 \cdot 10^{-26}|} = \frac{0,005}{4,48} = \frac{5}{4480} = \frac{1}{896}$.
Вычислим приближенное значение в виде десятичной дроби:
$\epsilon = \frac{1}{896} \approx 0,001116$.
Часто относительную погрешность выражают в процентах:
$\epsilon \approx 0,001116 \cdot 100\% \approx 0,11\%$.
Ответ: Относительная погрешность этого приближения составляет примерно $0,0011$ или $0,11\%$.