Номер 16, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 16, страница 10.

Условие.

Самостоятельная работа № 16

Системы неравенств с двумя переменными

1. Изобразите на координатной плоскости $xy$ множество решений системы неравенств

$\begin{cases} x^2 + y^2 \le 5, \\ xy < 2. \end{cases}$

2. Изобразите график неравенства:

1) $|x - 2y| < 4;$

2) $\sqrt{2x + y} < \sqrt{3x - y - 1}.$

3. Изобразите на координатной плоскости $xy$ множество точек, координаты которых удовлетворяют условию

$\max \{3x, 2\} = y + 1.$

Решение.

1.

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + y^2 \leq 5, \\ xy < 2. \end{cases} $

Первое неравенство, $x^2 + y^2 \leq 5$, задает множество точек, расположенных внутри и на границе окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{5}$.

Второе неравенство, $xy < 2$, задает множество точек, расположенных между ветвями гиперболы $y = 2/x$. Так как неравенство строгое, сами ветви гиперболы не входят в искомое множество (их следует изображать пунктирной линией). Чтобы определить, какая область является решением, можно взять пробную точку, например, начало координат $(0, 0)$. Подставляя ее в неравенство, получаем $0 \cdot 0 < 2$, что является верным утверждением. Следовательно, решением второго неравенства является область, содержащая начало координат.

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Это область, которая одновременно находится внутри или на окружности $x^2 + y^2 = 5$ и между ветвями гиперболы $xy = 2$.

Ответ: Искомое множество — это часть круга с центром в $(0,0)$ и радиусом $\sqrt{5}$, которая находится между двумя ветвями гиперболы $y = 2/x$. Граница окружности ($x^2 + y^2 = 5$) включается в решение, а ветви гиперболы ($xy=2$) — не включаются.

2.

1) $|x - 2y| < 4$

Неравенство с модулем $|x - 2y| < 4$ равносильно двойному неравенству: $ -4 < x - 2y < 4 $.

Это двойное неравенство можно разбить на систему из двух неравенств: $ \begin{cases} x - 2y < 4, \\ x - 2y > -4. \end{cases} $

Преобразуем каждое неравенство, выразив $y$:
1) $x - 2y < 4 \implies -2y < 4 - x \implies 2y > x - 4 \implies y > \frac{1}{2}x - 2$.
2) $x - 2y > -4 \implies -2y > -4 - x \implies 2y < x + 4 \implies y < \frac{1}{2}x + 2$.

Таким образом, искомое множество точек — это область, расположенная выше прямой $y = \frac{1}{2}x - 2$ и ниже прямой $y = \frac{1}{2}x + 2$. Эти две прямые параллельны.

Ответ: Графиком неравенства является открытая полоса, заключенная между параллельными прямыми $y = \frac{1}{2}x - 2$ и $y = \frac{1}{2}x + 2$. Сами прямые в решение не входят (изображаются пунктиром).

2) $\sqrt{2x + y} < \sqrt{3x - y - 1}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой подкоренные выражения неотрицательны: $ \begin{cases} 2x + y \geq 0 \\ 3x - y - 1 \geq 0 \end{cases} $ , что равносильно $ \begin{cases} y \geq -2x \\ y \leq 3x - 1 \end{cases} $.

На ОДЗ обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$2x + y < 3x - y - 1$
$2y < x - 1$
$y < \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

Итак, искомое множество точек удовлетворяет системе из трех неравенств: $ \begin{cases} y \geq -2x \\ y \leq 3x - 1 \\ y < \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \end{cases} $

Найдем точку пересечения граничных прямых $y = -2x$, $y = 3x - 1$ и $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. Решая систему уравнений, находим, что все три прямые пересекаются в одной точке $A(\frac{1}{5}, -\frac{2}{5})$.

Решением является угловая область (сектор) с вершиной в точке $A$. Эта область ограничена лучами $y = -2x$ и $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ при $x \geq \frac{1}{5}$. Условие $y \leq 3x - 1$ выполняется автоматически для точек этой области.

Ответ: Графиком неравенства является угловая область с вершиной в точке $(\frac{1}{5}, -\frac{2}{5})$, расположенная между лучами $y = -2x$ и $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ для $x > \frac{1}{5}$. Луч $y = -2x$ (нижняя граница) включается в решение, а луч $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ (верхняя граница) — не включается.

3.

Рассмотрим условие $\max\{3x, 2\} = y + 1$. Его можно переписать в виде $y = \max\{3x, 2\} - 1$. Для построения графика раскроем функцию $\max$ по определению.

Случай 1: $3x \geq 2$, то есть $x \geq \frac{2}{3}$.
В этом случае $\max\{3x, 2\} = 3x$. Уравнение принимает вид:
$y = 3x - 1$.
Это луч прямой $y = 3x - 1$, начинающийся в точке, где $x = 2/3$.

Случай 2: $3x < 2$, то есть $x < \frac{2}{3}$.
В этом случае $\max\{3x, 2\} = 2$. Уравнение принимает вид:
$y = 2 - 1 = 1$.
Это горизонтальный луч $y = 1$ для всех $x < 2/3$.

Найдем точку "стыка" двух лучей. При $x = 2/3$ из первого случая получаем $y = 3(\frac{2}{3}) - 1 = 2 - 1 = 1$. Из второго случая при $x \to 2/3$ имеем $y=1$. Таким образом, два луча соединяются в точке $(\frac{2}{3}, 1)$.

Ответ: Множество точек представляет собой график, состоящий из двух лучей, соединенных в точке $(\frac{2}{3}, 1)$:

• Горизонтальный луч $y=1$ для $x < \frac{2}{3}$.
• Луч прямой $y=3x-1$ для $x \geq \frac{2}{3}$.