Номер 12, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 12, страница 9.

Условие.

Самостоятельная работа № 12

Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными

1. Решите графически систему уравнений

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ xy = -4. \end{cases}$$

2. Определите графически количество решений системы уравнений

$$\begin{cases} |y| = -x, \\ y = x^2 - 2x - 1. \end{cases}$$

3. Сколько решений имеет система уравнений

$$\begin{cases} 2x + ay = 8 - a, \\ ax + 8y = 8 \end{cases}$$

в зависимости от значения параметра $a$?

Решение.

1. Решите графически систему уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ xy = -4. \end{cases}$

Для решения системы графическим методом построим графики каждого уравнения в одной системе координат и найдём точки их пересечения.

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 17$, задаёт окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{17}$. Поскольку $4^2 = 16$, то $R$ немного больше 4 ($R \approx 4.12$).

Второе уравнение, $xy = -4$, можно представить в виде функции $y = -4/x$. Это обратная пропорциональность, график которой — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

Построим графики. Окружность проходит через точки, например, $(\pm 1, \pm 4)$ и $(\pm 4, \pm 1)$, так как $1^2+4^2=17$. Гипербола также проходит через эти точки, поскольку:

• Если $x=1$, то $y=-4/1 = -4$. Точка $(1, -4)$.
• Если $x=4$, то $y=-4/4 = -1$. Точка $(4, -1)$.
• Если $x=-1$, то $y=-4/(-1) = 4$. Точка $(-1, 4)$.
• Если $x=-4$, то $y=-4/(-4) = 1$. Точка $(-4, 1)$.

Все эти четыре точки удовлетворяют и уравнению окружности. Следовательно, они являются точками пересечения графиков и решениями системы.

Координаты точек пересечения графиков являются решениями системы уравнений.

Ответ: $(1, -4)$, $(-1, 4)$, $(4, -1)$, $(-4, 1)$.

2. Определите графически количество решений системы уравнений $\begin{cases} |y| = -x, \\ y = x^2 - 2x - 1. \end{cases}$

Для определения количества решений построим графики каждого уравнения в одной системе координат и подсчитаем количество точек их пересечения.

Первое уравнение: $|y| = -x$. Из этого уравнения следует, что правая часть должна быть неотрицательной, то есть $-x \ge 0$, откуда $x \le 0$. Таким образом, график этого уравнения будет расположен в левой полуплоскости (включая ось $y$). Уравнение $|y| = -x$ эквивалентно двум уравнениям:

• $y = -x$, при $y \ge 0$ (и $x \le 0$). Это луч, выходящий из начала координат и лежащий во II координатной четверти.
• $y = x$, при $y < 0$ (и $x \le 0$). Это луч, выходящий из начала координат и лежащий в III координатной четверти.

Второе уравнение: $y = x^2 - 2x - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты её вершины:

$x_в = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$

$y_в = 1^2 - 2(1) - 1 = -2$

Вершина параболы находится в точке $(1, -2)$. Парабола пересекает ось $y$ в точке $(0, -1)$.

Построим графики. Нас интересуют точки пересечения параболы с лучами только при $x \le 0$. Левая ветвь параболы, проходя через точку $(0, -1)$, уходит вверх и влево. Она пересечет как луч $y=-x$ во второй четверти, так и луч $y=x$ в третьей четверти. Таким образом, графики имеют две точки пересечения.

Ответ: 2.

3. Сколько решений имеет система уравнений $\begin{cases} 2x + ay = 8 - a, \\ ax + 8y = 8 \end{cases}$ в зависимости от значения параметра a?

Это система двух линейных уравнений с двумя переменными. Количество решений зависит от соотношения коэффициентов при переменных и свободных членов.

Общий вид системы: $\begin{cases} A_1x + B_1y = C_1, \\ A_2x + B_2y = C_2. \end{cases}$

Система имеет:

• одно решение, если $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$;
• бесконечно много решений, если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$;
• не имеет решений, если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.

В нашем случае $A_1=2, B_1=a, C_1=8-a$ и $A_2=a, B_2=8, C_2=8$.

Рассмотрим условие пропорциональности коэффициентов при переменных:

$\frac{2}{a} = \frac{a}{8}$

$a^2 = 16$

$a = 4$ или $a = -4$.

Эти значения параметра $a$ являются особыми. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $a \neq 4$ и $a \neq -4$.
В этом случае $\frac{2}{a} \neq \frac{a}{8}$, поэтому система имеет единственное решение.

Случай 2: $a = 4$.
Проверим соотношение всех коэффициентов:

$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\frac{a}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$\frac{8-a}{8} = \frac{8-4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Так как $\frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{4}{8}$, все три отношения равны. Следовательно, система имеет бесконечно много решений.

Случай 3: $a = -4$.
Проверим соотношение всех коэффициентов:

$\frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$

$\frac{a}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

$\frac{8-a}{8} = \frac{8-(-4)}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Так как $\frac{2}{-4} = \frac{-4}{8} \neq \frac{12}{8}$, система не имеет решений.

Ответ: если $a = 4$, система имеет бесконечно много решений; если $a = -4$, система не имеет решений; если $a \neq 4$ и $a \neq -4$, система имеет одно решение.