Номер 18, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 18, страница 11.

Условие.

Самостоятельная работа № 18

Неравенства между средними величинами.

Неравенство Коши — Буняковского

1. Для положительных чисел $a$ и $b$ докажите неравенство

$\frac{a}{12b} + \frac{27b}{a} \ge 3.$

2. При $x > 2$ докажите неравенство

$x + \frac{1}{x-2} \ge 4.$

3. Известно, что $a^2 + b^2 = 12$, $c^2 + d^2 = 3$. Докажите, что

$\left|ac + bd\right| \le 6.$

4. Известно, что $x + y = 1$. Докажите, что

$\sqrt{x^2 + 9y^2} + \sqrt{y^2 + 9x^2} \ge 2\sqrt{2}.$

Решение.

1. Для доказательства неравенства воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $x$ и $y$: $x+y \ge 2\sqrt{xy}$. Пусть $x = \frac{a}{12b}$ и $y = \frac{27b}{a}$. Так как по условию $a$ и $b$ — положительные числа, то $x > 0$ и $y > 0$. Применим неравенство Коши: $\frac{a}{12b} + \frac{27b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{12b} \cdot \frac{27b}{a}}$. Упростим правую часть неравенства: $2\sqrt{\frac{27ab}{12ab}} = 2\sqrt{\frac{27}{12}} = 2\sqrt{\frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}} = 2\sqrt{\frac{9}{4}} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$. Таким образом, мы доказали, что $\frac{a}{12b} + \frac{27b}{a} \ge 3$. Ответ: Неравенство доказано.

2. Преобразуем левую часть неравенства, чтобы применить неравенство Коши. $x + \frac{1}{x-2} = (x - 2) + 2 + \frac{1}{x-2} = \left((x-2) + \frac{1}{x-2}\right) + 2$. По условию $x > 2$, следовательно, $x-2 > 0$. Применим неравенство Коши для положительных слагаемых $(x-2)$ и $\frac{1}{x-2}$: $(x-2) + \frac{1}{x-2} \ge 2\sqrt{(x-2) \cdot \frac{1}{x-2}} = 2\sqrt{1} = 2$. Прибавив 2 к обеим частям полученного неравенства, имеем: $\left((x-2) + \frac{1}{x-2}\right) + 2 \ge 2 + 2$, откуда следует $x + \frac{1}{x-2} \ge 4$. Ответ: Неравенство доказано.

3. Для доказательства воспользуемся неравенством Коши — Буняковского. Для любых действительных чисел $a, b, c, d$ справедливо неравенство: $(ac + bd)^2 \le (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$. Подставим в это неравенство данные из условия задачи: $a^2 + b^2 = 12$ и $c^2 + d^2 = 3$. Получим: $(ac + bd)^2 \le 12 \cdot 3$, то есть $(ac + bd)^2 \le 36$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $\sqrt{(ac + bd)^2} \le \sqrt{36}$, откуда следует $|ac + bd| \le 6$. Ответ: Неравенство доказано.

4. Для доказательства воспользуемся неравенством Минковского (неравенством треугольника для векторов). Рассмотрим на плоскости два вектора: $\vec{u} = (x, 3y)$ и $\vec{v} = (y, 3x)$. Длина (модуль) вектора $\vec{u}$ равна $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + (3y)^2} = \sqrt{x^2 + 9y^2}$. Длина вектора $\vec{v}$ равна $||\vec{v}|| = \sqrt{y^2 + (3x)^2} = \sqrt{y^2 + 9x^2}$. Левая часть доказываемого неравенства представляет собой сумму длин этих векторов. Согласно неравенству Минковского, сумма длин двух векторов не меньше длины их суммы: $||\vec{u}|| + ||\vec{v}|| \ge ||\vec{u} + \vec{v}||$. Найдем вектор-сумму: $\vec{u} + \vec{v} = (x+y, 3y+3x) = (x+y, 3(x+y))$. Найдем длину этого вектора: $||\vec{u} + \vec{v}|| = \sqrt{(x+y)^2 + (3(x+y))^2} = \sqrt{(x+y)^2 + 9(x+y)^2} = \sqrt{10(x+y)^2} = \sqrt{10}|x+y|$. По условию $x+y = 1$, значит $|x+y|=1$. Следовательно, $||\vec{u} + \vec{v}|| = \sqrt{10}$. Таким образом, мы доказали, что $\sqrt{x^2 + 9y^2} + \sqrt{y^2 + 9x^2} \ge \sqrt{10}$. Сравним $\sqrt{10}$ с $2\sqrt{2}$. Так как $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$, а $10 > 8$, то $\sqrt{10} > \sqrt{8}$. Следовательно, $\sqrt{x^2 + 9y^2} + \sqrt{y^2 + 9x^2} \ge \sqrt{10} > 2\sqrt{2}$, что и доказывает исходное неравенство. Ответ: Неравенство доказано.