Номер 24, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 24, страница 13.

Условие.

Самостоятельная работа № 24

Размещения

1. В первенстве города по баскетболу участвуют 11 команд. Сколькими способами могут распределиться первое, второе и третье места?

2. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $A_{x+3}^2 = 110$;

2) $\frac{P_{x+4}}{A_{x+1}^3 \cdot P_{x-2}} = 504.$

3. Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы цифры не повторялись, а первая и четвёртая цифры были чётными?

Решение.

1. В первенстве участвуют 11 команд, и нужно распределить 3 призовых места. Поскольку важен порядок команд на пьедестале (кто занял первое, кто второе, а кто третье), мы имеем дело с размещениями без повторений из 11 элементов по 3. Количество таких размещений вычисляется по формуле числа размещений:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашем случае $n = 11$ и $k = 3$.
$A_{11}^3 = \frac{11!}{(11-3)!} = \frac{11!}{8!} = 11 \cdot 10 \cdot 9 = 990$.
Таким образом, существует 990 способов распределения первых трёх мест.
Ответ: 990.

2. Решим уравнения в натуральных числах.

1) $A_{x+3}^2 = 110$
Воспользуемся определением числа размещений: $A_n^k = n(n-1)...(n-k+1)$.
$A_{x+3}^2 = (x+3)((x+3)-1) = (x+3)(x+2)$.
Получаем уравнение:
$(x+3)(x+2) = 110$
Раскроем скобки и решим квадратное уравнение:
$x^2 + 2x + 3x + 6 = 110$
$x^2 + 5x - 104 = 0$
Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-104) = 25 + 416 = 441 = 21^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-5 - 21}{2} = \frac{-26}{2} = -13$
$x_2 = \frac{-5 + 21}{2} = \frac{16}{2} = 8$
По условию задачи, решение нужно найти в натуральных числах, поэтому корень $x_1 = -13$ не подходит. Также проверим область определения для размещений: $n \ge k$, то есть $x+3 \ge 2$, что означает $x \ge -1$. Корень $x=8$ удовлетворяет этому условию и является натуральным числом.
Ответ: 8.

2) $\frac{P_{x+4}}{A_{x+1}^3 \cdot P_{x-2}} = 504$
Используем формулы для перестановок ($P_n = n!$) и размещений ($A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$):
$P_{x+4} = (x+4)!$
$A_{x+1}^3 = \frac{(x+1)!}{(x+1-3)!} = \frac{(x+1)!}{(x-2)!}$
$P_{x-2} = (x-2)!$
Подставим эти выражения в уравнение:
$\frac{(x+4)!}{\frac{(x+1)!}{(x-2)!} \cdot (x-2)!} = 504$
Сократим $(x-2)!$ в знаменателе:
$\frac{(x+4)!}{(x+1)!} = 504$
Распишем факториал в числителе: $(x+4)! = (x+4)(x+3)(x+2)(x+1)!$.
$\frac{(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)!}{(x+1)!} = 504$
$(x+4)(x+3)(x+2) = 504$
Мы получили произведение трёх последовательных натуральных чисел. Можно заметить, что $504 = 9 \cdot 8 \cdot 7$.
Следовательно, $(x+4) = 9$, $(x+3) = 8$, $(x+2) = 7$. Из любого из этих равенств следует, что $x=5$.
Проверим область допустимых значений. Для $A_{x+1}^3$ необходимо, чтобы $x+1 \ge 3 \Rightarrow x \ge 2$. Для $P_{x-2}$ необходимо, чтобы $x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$. Решение $x=5$ удовлетворяет этим условиям и является натуральным числом.
Ответ: 5.

3. Нам нужно составить пятизначное число из цифр $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ без повторений.
Условия:
1. Первая цифра — чётная.
2. Четвёртая цифра — чётная.
В данном наборе есть три чётные цифры: $\{2, 4, 6\}$ и четыре нечётные: $\{1, 3, 5, 7\}$.
Будем заполнять позиции числа пошагово, начиная с тех, на которые наложены ограничения.
- Выбор первой цифры: есть 3 варианта (любая из $\{2, 4, 6\}$).
- Выбор четвёртой цифры: так как цифры не повторяются, а первая уже выбрана и является чётной, осталось 2 варианта для четвёртой чётной цифры.
Количество способов выбрать и разместить две чётные цифры на первой и четвёртой позициях равно числу размещений из 3 по 2: $A_3^2 = 3 \cdot 2 = 6$.
- Теперь нужно заполнить оставшиеся 3 позиции (вторую, третью и пятую). Всего у нас было 7 цифр. Две из них мы уже использовали. Осталось $7 - 2 = 5$ цифр.
- Количество способов заполнить оставшиеся три позиции равно числу размещений из 5 оставшихся цифр по 3 свободным местам: $A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$.
Общее количество различных пятизначных чисел, удовлетворяющих условию, находим по правилу произведения, перемножая количество способов для каждого этапа:
$N = A_3^2 \cdot A_5^3 = 6 \cdot 60 = 360$.
Ответ: 360.