Номер 27, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 27, страница 14.

Условие.

Самостоятельная работа № 27

Классическое определение вероятности

1. Из натуральных чисел от 1 до 16 включительно ученик наугад называет одно. Какова вероятность того, что это число является делителем числа 16?

2. В коробке лежат 20 жёлтых шаров и несколько красных. Сколько красных шаров в коробке, если вероятность того, что выбранный наугад шар окажется красным, равна $\frac{3}{8}$?

3. Абонент забыл две последние цифры номера телефона и набирает их наугад. Какова вероятность правильно набрать номер с первой попытки, если абонент помнит только, что одна из двух последних цифр меньше другой на 2?

Решение.

1.

По условию задачи, ученик наугад называет одно из натуральных чисел от 1 до 16 включительно. Общее число всех возможных равновероятных исходов равно 16. Обозначим это число как $N$. Таким образом, $N = 16$.

Нас интересует событие, при котором названное число является делителем числа 16. Найдем все натуральные делители числа 16. Это числа, на которые 16 делится без остатка.

Делителями числа 16 являются: 1, 2, 4, 8, 16.

Всего таких чисел 5. Это количество благоприятных исходов. Обозначим его как $M$. Таким образом, $M = 5$.

Вероятность $P$ наступления события вычисляется по классической формуле вероятности:

$P = \frac{M}{N}$

Подставляя наши значения, получаем:

$P = \frac{5}{16}$

Ответ: $\frac{5}{16}$.

2.

Пусть в коробке находится $k$ красных шаров. Количество жёлтых шаров равно 20. Тогда общее число шаров в коробке составляет $N = 20 + k$.

Событие, вероятность которого нам известна, — это выбор красного шара. Количество благоприятных исходов для этого события равно количеству красных шаров, то есть $M = k$.

Вероятность $P$ того, что выбранный наугад шар окажется красным, по условию равна $\frac{3}{8}$.

Используя формулу вероятности $P = \frac{M}{N}$, составим уравнение:

$\frac{k}{20 + k} = \frac{3}{8}$

Решим это уравнение относительно $k$, используя основное свойство пропорции:

$8 \cdot k = 3 \cdot (20 + k)$

$8k = 60 + 3k$

$8k - 3k = 60$

$5k = 60$

$k = \frac{60}{5}$

$k = 12$

Следовательно, в коробке 12 красных шаров.

Ответ: 12.

3.

Абонент забыл две последние цифры номера телефона, которые мы можем обозначить как $xy$, где $x$ — предпоследняя цифра, а $y$ — последняя. Каждая из цифр может быть от 0 до 9.

Абонент помнит, что одна из двух последних цифр меньше другой на 2. Это условие можно записать в виде $|x - y| = 2$, что равносильно двум случаям: $y = x - 2$ или $y = x + 2$.

Найдем все возможные пары цифр $(x, y)$, которые удовлетворяют этому условию. Это будет общее число возможных исходов $N$.

Случай 1: $y = x - 2$. Возможные пары $(x, y)$:
(2, 0), (3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4), (7, 5), (8, 6), (9, 7).
Всего 8 комбинаций.

Случай 2: $y = x + 2$. Возможные пары $(x, y)$:
(0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7), (6, 8), (7, 9).
Всего еще 8 комбинаций.

Таким образом, общее количество возможных комбинаций для двух последних цифр равно $N = 8 + 8 = 16$.

Правильной является только одна из этих 16 комбинаций. Следовательно, число благоприятных исходов $M = 1$.

Вероятность $P$ правильно набрать номер с первой попытки вычисляется по формуле:

$P = \frac{M}{N} = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$.