Номер 20, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 20, страница 12.

Условие.

Самостоятельная работа № 20

Процентные расчёты

1. После двух последовательных снижений цены на 20% футболка стала стоить 256 р. Найдите первоначальную цену футболки.

2. Есть 160 г раствора иода в спирте, содержащего 10% иода. Сколько граммов спирта надо долить в раствор, чтобы полученный раствор содержал 8% иода?

3. Вкладчик положил в банк 60 000 р. За первый год ему начислили некоторый процент годовых, а в следующем году банковская ставка была увеличена на 2%. В конце второго года на счёте оказалось 66 144 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Решение.

1. Пусть $x$ — первоначальная цена футболки в рублях.
После первого снижения цены на 20%, новая цена составила 100% - 20% = 80% от первоначальной.
Цена после первого снижения: $x \times (1 - 0.20) = 0.8x$.
Второе снижение на 20% было применено к уже сниженной цене.
Цена после второго снижения: $(0.8x) \times (1 - 0.20) = 0.8x \times 0.8 = 0.64x$.
По условию, итоговая цена составила 256 рублей. Составим уравнение:
$0.64x = 256$
$x = \frac{256}{0.64}$
$x = \frac{25600}{64}$
$x = 400$
Таким образом, первоначальная цена футболки была 400 рублей.
Ответ: 400 р.

2. Сначала найдем массу чистого иода в исходном растворе.
Масса раствора — 160 г, концентрация иода — 10%.
Масса иода: $160 \times \frac{10}{100} = 160 \times 0.1 = 16$ г.
При добавлении спирта масса иода в растворе не меняется, она по-прежнему составляет 16 г. Меняется только общая масса раствора и, соответственно, концентрация.
Пусть $x$ — масса спирта, которую нужно долить в граммах.
Новая масса раствора станет: $160 + x$ г.
По условию, новый раствор должен содержать 8% иода. Составим пропорцию, где масса иода (16 г) составляет 8% от новой общей массы раствора:
$\frac{16}{160 + x} = \frac{8}{100}$
$\frac{16}{160 + x} = 0.08$
$16 = 0.08 \times (160 + x)$
$16 = 12.8 + 0.08x$
$16 - 12.8 = 0.08x$
$3.2 = 0.08x$
$x = \frac{3.2}{0.08} = \frac{320}{8} = 40$
Следовательно, нужно долить 40 граммов спирта.
Ответ: 40 г.

3. Пусть $p$ — банковская ставка в первый год в процентах. Тогда в виде десятичной дроби эта ставка равна $r = \frac{p}{100}$.
Начальная сумма вклада: $S_0 = 60\ 000$ р.
Сумма на счете через год: $S_1 = S_0 \times (1 + r) = 60\ 000 \times (1 + r)$.
На второй год банковская ставка была увеличена на 2%, то есть стала $(p + 2)\%$. В виде десятичной дроби новая ставка равна $r + 0.02$.
Сумма на счете в конце второго года рассчитывается от суммы $S_1$:
$S_2 = S_1 \times (1 + r + 0.02) = 60\ 000 \times (1 + r) \times (1.02 + r)$.
По условию, в конце второго года на счете оказалось 66 144 р. Составим уравнение:
$60\ 000 \times (1 + r) \times (1.02 + r) = 66\ 144$
$(1 + r)(1.02 + r) = \frac{66\ 144}{60\ 000}$
$(1 + r)(1.02 + r) = 1.1024$
Раскроем скобки:
$1.02 + r + 1.02r + r^2 = 1.1024$
$r^2 + 2.02r + 1.02 - 1.1024 = 0$
$r^2 + 2.02r - 0.0824 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (2.02)^2 - 4 \times 1 \times (-0.0824) = 4.0804 + 0.3296 = 4.41$
$\sqrt{D} = \sqrt{4.41} = 2.1$
Найдем корни уравнения:
$r_1 = \frac{-2.02 + 2.1}{2} = \frac{0.08}{2} = 0.04$
$r_2 = \frac{-2.02 - 2.1}{2} = \frac{-4.12}{2} = -2.06$
Так как процентная ставка не может быть отрицательной, подходит только корень $r_1 = 0.04$.
Переведем в проценты: $0.04 \times 100\% = 4\%$.
Банковская ставка в первый год составляла 4%.
Ответ: 4%.