Номер 19, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 19, страница 11.

Условие.

Самостоятельная работа № 19

Математическое моделирование

1. Из двух городов, расстояние между которыми равно 300 км, выехали одновременно навстречу друг другу легковой и грузовой автомобили, которые встретились через 2 ч 30 мин. Найдите скорость каждого автомобиля, если грузовик потратил на путь из одного города в другой на 3 ч 45 мин больше, чем легковой автомобиль.

2. Если открыть одновременно две трубы, то бассейн будет наполнен водой за 2 ч 24 мин. Если сначала через первую трубу наполнить $\frac{1}{3}$ бассейна, а потом через вторую трубу — оставшуюся часть бассейна, то весь бассейн будет наполнен за 6 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу отдельно?

3. В двух сплавах массы меди и цинка относятся как 2 : 3 и 1 : 4 соответственно. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить 40 кг нового сплава, в котором массы меди и цинка относятся как 1 : 3?

Решение.

1.

Пусть $v_л$ км/ч — скорость легкового автомобиля, а $v_г$ км/ч — скорость грузового автомобиля.

Для удобства расчетов переведем время в часы:

2 ч 30 мин = $2 + \frac{30}{60} = 2.5$ часа.

3 ч 45 мин = $3 + \frac{45}{60} = 3.75$ часа.

Когда автомобили движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей ($v_л + v_г$). За 2.5 часа они вместе преодолели расстояние 300 км. На основе этого составим первое уравнение:

$(v_л + v_г) \cdot 2.5 = 300$

Разделив обе части на 2.5, получим:

$v_л + v_г = 120$

Время, которое легковой автомобиль тратит на весь путь в 300 км, равно $t_л = \frac{300}{v_л}$.

Время, которое грузовой автомобиль тратит на этот же путь, равно $t_г = \frac{300}{v_г}$.

По условию, грузовик был в пути на 3.75 часа дольше, чем легковой автомобиль. Составим второе уравнение:

$t_г - t_л = 3.75$

$\frac{300}{v_г} - \frac{300}{v_л} = 3.75$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} v_л + v_г = 120 \\ \frac{300}{v_г} - \frac{300}{v_л} = 3.75 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_г$: $v_г = 120 - v_л$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{300}{120 - v_л} - \frac{300}{v_л} = 3.75$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на $v_л(120 - v_л)$:

$300v_л - 300(120 - v_л) = 3.75v_л(120 - v_л)$

$300v_л - 36000 + 300v_л = 450v_л - 3.75v_л^2$

$600v_л - 36000 = 450v_л - 3.75v_л^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3.75v_л^2 + 150v_л - 36000 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 3.75:

$v_л^2 + 40v_л - 9600 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 40^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9600) = 1600 + 38400 = 40000 = 200^2$

Найдем корни уравнения:

$v_{л1} = \frac{-40 + \sqrt{40000}}{2} = \frac{-40 + 200}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_{л2} = \frac{-40 - \sqrt{40000}}{2} = \frac{-40 - 200}{2} = -120$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, единственным подходящим решением является $v_л = 80$ км/ч.

Теперь найдем скорость грузового автомобиля:

$v_г = 120 - v_л = 120 - 80 = 40$ км/ч.

Ответ: скорость легкового автомобиля — 80 км/ч, скорость грузового автомобиля — 40 км/ч.

2.

Пусть первая труба может наполнить весь бассейн за $x$ часов, а вторая — за $y$ часов.

Тогда производительность (скорость наполнения) первой трубы составляет $\frac{1}{x}$ часть бассейна в час, а второй — $\frac{1}{y}$ часть бассейна в час.

Переведем время совместной работы в часы: 2 ч 24 мин = $2 + \frac{24}{60} = 2 + \frac{2}{5} = 2.4$ часа.

Когда обе трубы открыты, их общая производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. За 2.4 часа они наполняют весь бассейн (объем которого принимаем за 1). Составим первое уравнение:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 2.4 = 1$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2.4} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$

Согласно второму условию, первая труба работала, пока не наполнила $\frac{1}{3}$ бассейна. Время ее работы: $t_1 = \frac{\text{объем работы}}{\text{производительность}} = \frac{1/3}{1/x} = \frac{x}{3}$ часа.

Затем вторая труба наполнила оставшиеся $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ бассейна. Время ее работы: $t_2 = \frac{2/3}{1/y} = \frac{2y}{3}$ часа.

Общее время составило 6 часов. Составим второе уравнение:

$t_1 + t_2 = \frac{x}{3} + \frac{2y}{3} = 6$

Умножим на 3, чтобы упростить: $x + 2y = 18$.

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{12} \\ x + 2y = 18 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 18 - 2y$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{1}{18 - 2y} + \frac{1}{y} = \frac{5}{12}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{y + (18 - 2y)}{y(18 - 2y)} = \frac{5}{12}$

$\frac{18 - y}{18y - 2y^2} = \frac{5}{12}$

Используя свойство пропорции (крест-накрест), получим:

$12(18 - y) = 5(18y - 2y^2)$

$216 - 12y = 90y - 10y^2$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$10y^2 - 102y + 216 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$5y^2 - 51y + 108 = 0$

Решим уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$

$D = (-51)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 108 = 2601 - 2160 = 441 = 21^2$

Найдем два возможных значения для $y$:

$y_1 = \frac{51 + 21}{2 \cdot 5} = \frac{72}{10} = 7.2$

$y_2 = \frac{51 - 21}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$:

1. Если $y_1 = 7.2$ часа, то $x_1 = 18 - 2 \cdot 7.2 = 18 - 14.4 = 3.6$ часа.

2. Если $y_2 = 3$ часа, то $x_2 = 18 - 2 \cdot 3 = 18 - 6 = 12$ часов.

Оба набора решений удовлетворяют условиям задачи, так как в условии не указано, какая из труб быстрее.

Ответ: существует два возможных решения: первая труба наполнит бассейн за 3.6 часа (3 часа 36 минут), а вторая — за 7.2 часа (7 часов 12 минут), ИЛИ первая труба наполнит бассейн за 12 часов, а вторая — за 3 часа.

3.

Пусть для получения нового сплава взяли $m_1$ кг первого сплава и $m_2$ кг второго сплава.

Общая масса нового сплава равна 40 кг, следовательно, можем составить первое уравнение:

$m_1 + m_2 = 40$

Теперь определим содержание (массовую долю) меди в каждом из сплавов.

В первом сплаве соотношение меди и цинка 2:3. Общее число частей — $2+3=5$. Массовая доля меди: $\frac{2}{5}$.

Во втором сплаве соотношение меди и цинка 1:4. Общее число частей — $1+4=5$. Массовая доля меди: $\frac{1}{5}$.

В итоговом сплаве соотношение меди и цинка 1:3. Общее число частей — $1+3=4$. Массовая доля меди: $\frac{1}{4}$.

Масса меди, взятая из первого сплава, составляет $\frac{2}{5}m_1$ кг.

Масса меди, взятая из второго сплава, составляет $\frac{1}{5}m_2$ кг.

Общая масса меди в 40 кг нового сплава равна $40 \cdot \frac{1}{4} = 10$ кг.

Составим второе уравнение, основываясь на массе меди:

$\frac{2}{5}m_1 + \frac{1}{5}m_2 = 10$

Получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} m_1 + m_2 = 40 \\ \frac{2}{5}m_1 + \frac{1}{5}m_2 = 10 \end{cases}$

Умножим второе уравнение на 5, чтобы избавиться от дробей:

$2m_1 + m_2 = 50$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} m_1 + m_2 = 40 \\ 2m_1 + m_2 = 50 \end{cases}$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:

$(2m_1 + m_2) - (m_1 + m_2) = 50 - 40$

$m_1 = 10$

Теперь подставим найденное значение $m_1$ в первое уравнение, чтобы найти $m_2$:

$10 + m_2 = 40$

$m_2 = 30$

Таким образом, для получения нового сплава необходимо взять 10 кг первого сплава и 30 кг второго.

Ответ: нужно взять 10 кг первого сплава и 30 кг второго сплава.