Номер 22, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 22, страница 13.

Условие.

Самостоятельная работа № 22

Метод математической индукции

1. Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном $n$ выполняется равенство

$1 + 5 + 9 + ... + 4n - 3 = n(2n - 1)$

2. Докажите неравенство $4^n > 3n + 2$, где $n \in N, n \geq 2$.

3. Докажите, что для любого натурального $n$ значение выражения $(21^n + 50 \cdot 4^n)$ кратно 17.

Решение.

1.

Доказательство проведем методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции

Проверим справедливость равенства для $n=1$.

Левая часть представляет собой сумму, где последний член соответствует $n=1$, то есть это просто первый член $4(1)-3=1$.

Левая часть: $1$.

Правая часть: $1 \cdot (2 \cdot 1 - 1) = 1 \cdot (2 - 1) = 1$.

Так как $1=1$, равенство верно для $n=1$.

Шаг 2: Индукционный шаг

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $k$, то есть выполняется индукционное предположение:

$1 + 5 + 9 + ... + (4k - 3) = k(2k - 1)$.

Докажем, что из этого следует справедливость равенства для $n = k + 1$:

$1 + 5 + 9 + ... + (4k - 3) + (4(k+1) - 3) = (k+1)(2(k+1) - 1)$.

Рассмотрим левую часть этого равенства. Используя индукционное предположение, заменим сумму первых $k$ слагаемых:

$\underbrace{1 + 5 + 9 + ... + (4k - 3)}_{k(2k - 1)} + (4(k+1) - 3) = k(2k - 1) + (4k + 4 - 3)$.

Упростим полученное выражение:

$k(2k - 1) + 4k + 1 = 2k^2 - k + 4k + 1 = 2k^2 + 3k + 1$.

Теперь преобразуем правую часть доказываемого равенства:

$(k+1)(2(k+1) - 1) = (k+1)(2k + 2 - 1) = (k+1)(2k + 1) = 2k^2 + 2k + k + 1 = 2k^2 + 3k + 1$.

Левая и правая части совпали, следовательно, индукционный шаг доказан.

По принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.

2.

Доказательство проведем методом математической индукции для $n \in N, n \geq 2$.

Шаг 1: База индукции

Проверим справедливость неравенства для наименьшего значения $n=2$.

$4^2 > 3 \cdot 2 + 2 \implies 16 > 8$.

Неравенство верно, так как $16 > 8$.

Шаг 2: Индукционный шаг

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \geq 2$, то есть выполняется индукционное предположение:

$4^k > 3k + 2$.

Докажем, что из этого следует справедливость неравенства для $n = k + 1$:

$4^{k+1} > 3(k+1) + 2$.

Преобразуем левую часть доказываемого неравенства, используя индукционное предположение:

$4^{k+1} = 4 \cdot 4^k > 4 \cdot (3k + 2) = 12k + 8$.

Теперь нам нужно показать, что полученное выражение больше правой части доказываемого неравенства, то есть $12k + 8 > 3(k+1) + 2$.

Правая часть равна $3(k+1) + 2 = 3k + 3 + 2 = 3k + 5$.

Сравним $12k + 8$ и $3k + 5$. Для $k \geq 2$ имеем:

$12k + 8 - (3k + 5) = 9k + 3$.

Так как $k \geq 2$, то $9k > 18$, и $9k + 3 > 0$, откуда следует, что $12k + 8 > 3k + 5$.

Таким образом, мы получили цепочку верных неравенств:

$4^{k+1} > 12k + 8 > 3k + 5 = 3(k+1) + 2$.

Это доказывает, что $4^{k+1} > 3(k+1) + 2$. Индукционный шаг выполнен.

По принципу математической индукции, неравенство верно для всех натуральных $n \geq 2$.

Ответ: Доказано.

3.

Докажем, что выражение $A(n) = 21^n + 50 \cdot 4^n$ кратно 17 для любого натурального $n$. Доказательство проведем методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции

Проверим утверждение для $n=1$.

$A(1) = 21^1 + 50 \cdot 4^1 = 21 + 200 = 221$.

Так как $221 = 17 \cdot 13$, то $A(1)$ делится на 17 без остатка. База индукции верна.

Шаг 2: Индукционный шаг

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть $A(k) = 21^k + 50 \cdot 4^k$ кратно 17. Это индукционное предположение.

Докажем, что из этого следует, что $A(k+1) = 21^{k+1} + 50 \cdot 4^{k+1}$ также кратно 17.

Преобразуем выражение для $A(k+1)$:

$A(k+1) = 21 \cdot 21^k + 50 \cdot 4 \cdot 4^k = 21 \cdot 21^k + 200 \cdot 4^k$.

Чтобы использовать индукционное предположение, преобразуем выражение так, чтобы выделить $A(k)$. Представим $21 = 17 + 4$.

$A(k+1) = (17 + 4) \cdot 21^k + 200 \cdot 4^k = 17 \cdot 21^k + 4 \cdot 21^k + 200 \cdot 4^k$.

Теперь вынесем 4 за скобки в последних двух слагаемых:

$A(k+1) = 17 \cdot 21^k + 4 \cdot (21^k + 50 \cdot 4^k)$.

В скобках мы получили выражение $A(k)$. Таким образом:

$A(k+1) = 17 \cdot 21^k + 4 \cdot A(k)$.

Первое слагаемое ($17 \cdot 21^k$) очевидно кратно 17.

Второе слагаемое ($4 \cdot A(k)$) кратно 17, так как по индукционному предположению $A(k)$ кратно 17.

Сумма двух выражений, кратных 17, также кратна 17. Следовательно, $A(k+1)$ кратно 17.

Индукционный шаг доказан.

По принципу математической индукции, выражение $21^n + 50 \cdot 4^n$ кратно 17 для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.