Номер 29, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 29, страница 15.

Условие.

Самостоятельная работа № 29

Числовые последовательности

1. Найдите три первых члена последовательности $ (a_n) $, если $ a_1 = -3 $, $ a_{n+1} = 3a_n + 2 $.

2. Последовательность $ (a_n) $ задана формулой $n$-го члена $ a_n = 6n - 1 $. Является ли членом этой последовательности число: 1) 17; 2) 36? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

3. Последовательность $ (a_n) $ задана формулой $n$-го члена $ a_n = n^2 - 4n + 2 $. Найдите количество членов этой последовательности, которые меньше числа 14.

4. Найдите все такие значения $a$, при которых последовательность, заданная условиями $ x_1 = a $, $ x_{n+1} = x_n^2 - 7x_n + 7 $, является стационарной.

Решение.

1.

По условию, первый член последовательности $a_1 = -3$. Последовательность задана рекуррентной формулой $a_{n+1} = 3a_n + 2$. Для нахождения последующих членов будем подставлять в формулу значение предыдущего члена.

Найдем второй член последовательности, подставив $n=1$: $a_2 = 3a_1 + 2 = 3 \cdot (-3) + 2 = -9 + 2 = -7$.

Найдем третий член последовательности, подставив $n=2$: $a_3 = 3a_2 + 2 = 3 \cdot (-7) + 2 = -21 + 2 = -19$.

Таким образом, три первых члена последовательности: -3, -7, -19.

Ответ: -3; -7; -19.

2.

Последовательность $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n = 6n - 1$. Чтобы определить, является ли число членом последовательности, нужно проверить, существует ли такое натуральное число $n$ (номер члена), при котором $a_n$ равно этому числу.

1) Проверим число 17. Приравняем $a_n$ к 17 и решим уравнение относительно $n$: $6n - 1 = 17$ $6n = 17 + 1$ $6n = 18$ $n = \frac{18}{6}$ $n = 3$ Так как мы получили натуральное число $n=3$, то число 17 является членом этой последовательности, его номер 3.

2) Проверим число 36. Приравняем $a_n$ к 36 и решим уравнение относительно $n$: $6n - 1 = 36$ $6n = 36 + 1$ $6n = 37$ $n = \frac{37}{6}$ Так как число $\frac{37}{6}$ не является натуральным, то число 36 не является членом данной последовательности.

Ответ: 1) да, является членом с номером 3; 2) нет, не является.

3.

Последовательность $(a_n)$ задана формулой $a_n = n^2 - 4n + 2$. Требуется найти количество членов этой последовательности, которые меньше числа 14. Для этого решим неравенство $a_n < 14$, где $n$ — натуральное число.

$n^2 - 4n + 2 < 14$ $n^2 - 4n + 2 - 14 < 0$ $n^2 - 4n - 12 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $n^2 - 4n - 12 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$. Найдем корни: $n_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = -2$. $n_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = 6$.

Графиком функции $y = n^2 - 4n - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $n^2 - 4n - 12 < 0$ выполняется для значений $n$, находящихся между корнями: $-2 < n < 6$. Поскольку $n$ (номер члена последовательности) может быть только натуральным числом, выберем все натуральные числа из этого интервала: 1, 2, 3, 4, 5. Количество таких чисел равно 5.

Ответ: 5.

4.

Последовательность является стационарной, если все ее члены равны друг другу. То есть $x_1 = x_2 = x_3 = \dots$. Это эквивалентно условию $x_{n+1} = x_n$ для всех натуральных $n$.

Последовательность задана условиями $x_1 = a$ и $x_{n+1} = x_n^2 - 7x_n + 7$. Подставим условие стационарности $x_{n+1} = x_n$ в рекуррентную формулу: $x_n = x_n^2 - 7x_n + 7$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $x_n^2 - 7x_n - x_n + 7 = 0$ $x_n^2 - 8x_n + 7 = 0$

Решим это уравнение относительно $x_n$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Легко подобрать корни: $x_n = 1$ или $x_n = 7$.

Это означает, что последовательность будет стационарной, если все ее члены равны 1 или все ее члены равны 7. По условию, первый член последовательности $x_1 = a$. Чтобы вся последовательность была стационарной, ее первый член $a$ должен быть равен одному из найденных стационарных значений. Следовательно, $a$ может принимать значения 1 или 7.

Ответ: 1; 7.