Номер 30, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 30, страница 16.

Условие.

Самостоятельная работа № 30

Арифметическая прогрессия

1. Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии 5,3; 4,9; 4,5; ...

2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии ($a_n$), если $a_4 + a_8 = 35$ и $a_3 + a_{21} = 65$.

3. При каком значении $n$ значения выражений $n^2$, $2n + 3$, $3n + 4$ и $n^2 + n + 7$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите эти члены прогрессии.

Решение.

1. Дана арифметическая прогрессия $5,3; 4,9; 4,5; \dots$.
Первый член прогрессии $a_1 = 5,3$.
Найдем разность прогрессии $d$, вычтя из второго члена первый:
$d = a_2 - a_1 = 4,9 - 5,3 = -0,4$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Нам нужно найти первый отрицательный член, то есть найти наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $a_n < 0$.
Подставим известные значения в неравенство:
$5,3 + (n-1)(-0,4) < 0$
$5,3 - 0,4n + 0,4 < 0$
$5,7 - 0,4n < 0$
$5,7 < 0,4n$
Разделим обе части на $0,4$:
$n > \frac{5,7}{0,4}$
$n > \frac{57}{4}$
$n > 14,25$
Поскольку $n$ — это номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Наименьшее натуральное число, большее $14,25$, это $n=15$.
Следовательно, первым отрицательным членом будет $a_{15}$. Найдем его значение:
$a_{15} = a_1 + (15-1)d = 5,3 + 14 \cdot (-0,4) = 5,3 - 5,6 = -0,3$.
Ответ: $-0,3$.

2. Дана система уравнений для членов арифметической прогрессии ($a_n$):
$\begin{cases} a_4 + a_8 = 35 \\ a_3 + a_{21} = 65 \end{cases}$
Используем формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии. Выразим члены прогрессии в уравнениях через $a_1$ и $d$:
$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$
$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
$a_{21} = a_1 + (21-1)d = a_1 + 20d$
Подставим эти выражения в систему:
$\begin{cases} (a_1 + 3d) + (a_1 + 7d) = 35 \\ (a_1 + 2d) + (a_1 + 20d) = 65 \end{cases}$
Упростим систему:
$\begin{cases} 2a_1 + 10d = 35 \\ 2a_1 + 22d = 65 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $d$:
$(2a_1 + 22d) - (2a_1 + 10d) = 65 - 35$
$12d = 30$
$d = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Теперь подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:
$2a_1 + 10(2,5) = 35$
$2a_1 + 25 = 35$
$2a_1 = 10$
$a_1 = 5$.
Ответ: первый член $a_1 = 5$, разность $d = 2,5$.

3. Даны четыре последовательных члена арифметической прогрессии: $n^2$, $2n + 3$, $3n + 4$ и $n^2 + n + 7$.
Основное свойство арифметической прогрессии заключается в том, что разность между любыми двумя последовательными членами постоянна и равна разности прогрессии $d$. Для любых трех последовательных членов $a, b, c$ выполняется равенство $b - a = c - b$ или $2b = a + c$.
Применим это свойство для первых трех членов: $a_1 = n^2$, $a_2 = 2n + 3$, $a_3 = 3n + 4$.
$a_2 - a_1 = a_3 - a_2$
$(2n + 3) - n^2 = (3n + 4) - (2n + 3)$
$2n + 3 - n^2 = n + 1$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$n^2 - n - 2 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-2$. Корни: $n_1 = 2$ и $n_2 = -1$.
Теперь применим то же свойство для следующих трех членов: $a_2 = 2n + 3$, $a_3 = 3n + 4$, $a_4 = n^2 + n + 7$.
$a_3 - a_2 = a_4 - a_3$
$(3n + 4) - (2n + 3) = (n^2 + n + 7) - (3n + 4)$
$n + 1 = n^2 - 2n + 3$
Перенесем все члены в одну сторону:
$n^2 - 3n + 2 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а произведение равно $2$. Корни: $n_1 = 2$ и $n_2 = 1$.
Единственное значение $n$, которое является решением обеих систем уравнений, это $n = 2$.
Теперь найдем сами члены прогрессии, подставив $n = 2$ в данные выражения:
Первый член: $n^2 = 2^2 = 4$.
Второй член: $2n + 3 = 2(2) + 3 = 7$.
Третий член: $3n + 4 = 3(2) + 4 = 10$.
Четвертый член: $n^2 + n + 7 = 2^2 + 2 + 7 = 4 + 2 + 7 = 13$.
Получилась последовательность: $4, 7, 10, 13$. Разность между соседними членами равна $3$, значит, это действительно арифметическая прогрессия.
Ответ: при $n = 2$; члены прогрессии: $4, 7, 10, 13$.