Номер 34, страница 17 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 34, страница 17.

Условие.

Самостоятельная работа № 34

Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) 36, -12, 4, ... ;

2) 21, $3\sqrt{7}$, 3, ...

2. Запишите в виде обыкновенной дроби число:

1) 0,777... ;

2) 8,3(18).

3. В бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $q$, где $|q|<1$, сумма членов с нечётными номерами равна 24, а сумма членов с чётными номерами равна 4. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Решение.

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) 36, –12, 4, ...

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ – первый член прогрессии, а $q$ – её знаменатель (при условии $|q| < 1$).
В данной прогрессии первый член $b_1 = 36$.
Найдем знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-12}{36} = -\frac{1}{3}$.
Проверим условие сходимости: $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Условие выполняется.
Теперь можем найти сумму прогрессии:
$S = \frac{36}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{36}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{36}{\frac{4}{3}} = 36 \cdot \frac{3}{4} = 27$.
Ответ: 27.

2) 21, $3\sqrt{7}$, 3, ...

Первый член прогрессии $b_1 = 21$.
Найдем знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3\sqrt{7}}{21} = \frac{\sqrt{7}}{7}$.
Проверим условие сходимости: $|q| = |\frac{\sqrt{7}}{7}| = \frac{\sqrt{7}}{7}$. Так как $\sqrt{7} < \sqrt{49} = 7$, то $\frac{\sqrt{7}}{7} < 1$. Условие выполняется.
Найдем сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{21}{1 - \frac{\sqrt{7}}{7}} = \frac{21}{\frac{7 - \sqrt{7}}{7}} = \frac{21 \cdot 7}{7 - \sqrt{7}} = \frac{147}{7 - \sqrt{7}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(7 + \sqrt{7})$:
$S = \frac{147(7 + \sqrt{7})}{(7 - \sqrt{7})(7 + \sqrt{7})} = \frac{147(7 + \sqrt{7})}{7^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{147(7 + \sqrt{7})}{49 - 7} = \frac{147(7 + \sqrt{7})}{42}$.
Сократим дробь $\frac{147}{42}$ на 21: $\frac{147 \div 21}{42 \div 21} = \frac{7}{2}$.
$S = \frac{7(7 + \sqrt{7})}{2} = \frac{49 + 7\sqrt{7}}{2}$.
Ответ: $\frac{49 + 7\sqrt{7}}{2}$.

2. Запишите в виде обыкновенной дроби число:

1) 0,777...

Число 0,777... можно представить в виде бесконечной суммы: $0.7 + 0.07 + 0.007 + \dots$.
Это сумма членов бесконечной геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 0.7$, а знаменатель $q = 0.1$.
Так как $|q| = 0.1 < 1$, можно использовать формулу суммы:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{0.7}{1 - 0.1} = \frac{0.7}{0.9} = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$.

2) 8,3(18)

Представим смешанную периодическую дробь в виде суммы целой части и дробной части: $8,3(18) = 8 + 0,3(18)$.
Теперь преобразуем периодическую часть $0,3(18) = 0,3181818...$.
Пусть $x = 8,3181818...$.
Умножим на 10, чтобы отделить непериодическую часть: $10x = 83,181818...$.
Умножим на 1000, чтобы сдвинуть один период влево: $1000x = 8318,181818...$.
Вычтем из второго уравнения первое:
$1000x - 10x = 8318,1818... - 83,1818...$
$990x = 8235$
$x = \frac{8235}{990}$.
Сократим дробь. Разделим числитель и знаменатель на 5: $\frac{1647}{198}$.
Разделим числитель и знаменатель на 9: $\frac{183}{22}$.
Ответ: $\frac{183}{22}$.

3. В бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q, где |q| < 1, сумма членов с нечётными номерами равна 24, а сумма членов с чётными номерами равна 4. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть бесконечная геометрическая прогрессия задается первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.
Ряд членов с нечетными номерами: $b_1, b_3, b_5, \dots$ или $b_1, b_1q^2, b_1q^4, \dots$.
Это тоже бесконечная геометрическая прогрессия, у которой первый член равен $b_1$, а знаменатель равен $q^2$.
Сумма этой прогрессии $S_{нечет} = \frac{b_1}{1 - q^2}$. По условию, $S_{нечет} = 24$.
Получаем первое уравнение: $\frac{b_1}{1 - q^2} = 24$.
Ряд членов с четными номерами: $b_2, b_4, b_6, \dots$ или $b_1q, b_1q^3, b_1q^5, \dots$.
Это также бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1q$ и знаменателем $q^2$.
Сумма этой прогрессии $S_{чет} = \frac{b_1q}{1 - q^2}$. По условию, $S_{чет} = 4$.
Получаем второе уравнение: $\frac{b_1q}{1 - q^2} = 4$.
Имеем систему из двух уравнений:
$\begin{cases} \frac{b_1}{1 - q^2} = 24 \\ \frac{b_1q}{1 - q^2} = 4 \end{cases}$
Разделим второе уравнение на первое:
$\frac{\frac{b_1q}{1 - q^2}}{\frac{b_1}{1 - q^2}} = \frac{4}{24}$
$q = \frac{1}{6}$.
Теперь подставим найденное значение $q$ в первое уравнение, чтобы найти $b_1$:
$\frac{b_1}{1 - (\frac{1}{6})^2} = 24$
$\frac{b_1}{1 - \frac{1}{36}} = 24$
$\frac{b_1}{\frac{35}{36}} = 24$
$b_1 = 24 \cdot \frac{35}{36} = \frac{24 \cdot 35}{36} = \frac{2 \cdot 35}{3} = \frac{70}{3}$.
Итак, первый член прогрессии $b_1 = \frac{70}{3}$, а знаменатель $q = \frac{1}{6}$.
Ответ: первый член равен $\frac{70}{3}$, знаменатель равен $\frac{1}{6}$.