Номер 4, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 4, страница 19.

Условие.

Самостоятельная работа № 4

Построение графиков функций $y = kf(x)$ и $y = f(kx)$

1. Известно, что точка $E (-3; 12)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$. Найдите значение $a$.

2. На рисунке 4 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = -f(x)$; 2) $y = f(-x)$.

3. Число $-2$ является нулём убывающей функции $f$. Решите уравнение $f(6x) = 0$.

4. Постройте график функции:

1) $y = -4x^2$; 2) $y = \sqrt{\frac{x}{3}}$.

Решение.

1. Поскольку точка $E(-3; 12)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$, её координаты удовлетворяют уравнению функции. Подставим значения $x = -3$ и $y = 12$ в уравнение:
$12 = a \cdot (-3)^2$
$12 = a \cdot 9$
Выразим $a$:
$a = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$
Ответ: $a = \frac{4}{3}$.

2.

1) y = -f(x)
График функции $y = -f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путём симметричного отражения относительно оси абсцисс (Ox). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переходит в точку $(x, -y)$.
Для построения графика необходимо отразить ключевые точки исходного графика относительно оси Ox и соединить их отрезками.
Ответ: График функции $y = -f(x)$ строится симметричным отражением графика $y = f(x)$ относительно оси абсцисс (Ox).

2) y = f(-x)
График функции $y = f(-x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путём симметричного отражения относительно оси ординат (Oy). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переходит в точку $(-x, y)$.
Для построения графика необходимо отразить ключевые точки исходного графика относительно оси Oy и соединить их отрезками.
Ответ: График функции $y = f(-x)$ строится симметричным отражением графика $y = f(x)$ относительно оси ординат (Oy).

3. Условие, что число -2 является нулём функции $f$, означает, что $f(-2) = 0$.
Для решения уравнения $f(6x) = 0$ необходимо, чтобы аргумент функции $f$ был равен -2.
Приравниваем аргумент к -2:
$6x = -2$
Решаем полученное уравнение:
$x = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Информация о том, что функция является убывающей, гарантирует единственность этого корня.
Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

4.

1) y = -4x²
График функции $y = -4x^2$ — это парабола. Для её построения можно выполнить следующие преобразования графика $y=x^2$:
1. Выполнить растяжение графика $y=x^2$ вдоль оси Oy в 4 раза, чтобы получить график $y=4x^2$.
2. Выполнить симметричное отражение графика $y=4x^2$ относительно оси Ox.
Полученная парабола имеет вершину в точке $(0, 0)$, а её ветви направлены вниз. Контрольные точки для построения: $(1, -4)$ и $(-1, -4)$.
Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(0,0)$, ветви которой направлены вниз. Для построения можно использовать точки $(1, -4)$ и $(-1, -4)$.

2) y = $\sqrt{\frac{x}{3}}$
Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x}{3}}$ задаётся условием $\frac{x}{3} \ge 0$, откуда $x \ge 0$.
График этой функции можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ путём его горизонтального растяжения от оси Oy в 3 раза.
График представляет собой ветвь параболы, которая начинается в точке $(0, 0)$ и проходит в первой координатной четверти. Контрольные точки для построения: $(3, 1)$ и $(12, 2)$.
Ответ: График функции — ветвь параболы, выходящая из точки $(0,0)$ и расположенная в первой координатной четверти. Для построения можно использовать точки $(3, 1)$ и $(12, 2)$.