Номер 9, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 9, страница 22.

Условие.

Самостоятельная работа № 9

Решение неравенств методом интервалов

1. Решите неравенство:

1) $(x + 6)(x - 1)(x - 7) > 0;$

2) $(x + 4)(6 - x)^8 (3x - 1)^5 > 0;$

3) $\frac{4x}{x^2 - 6x + 5} + \frac{3}{x - 1} \ge \frac{2}{x - 5};$

4) $(x^2 - 49)\sqrt{x^2 - 4} \ge 0.$

2. Найдите множество решений неравенства $|x - a|(2x^2 - x - 3) \le 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

Решение.

1) $(x + 6)(x - 1)(x - 7) > 0$

Для решения неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x+6)(x-1)(x-7) = 0$. Корнями являются $x_1 = -6$, $x_2 = 1$, $x_3 = 7$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 1)$, $(1; 7)$ и $(7; \infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Так как все корни имеют нечетную кратность (1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. В крайнем правом интервале $(7; \infty)$ выражение положительно (например, при $x=10$, $(10+6)(10-1)(10-7) > 0$).

Расставим знаки на интервалах: $(-\infty; -6)$ - минус, $(-6; 1)$ - плюс, $(1; 7)$ - минус, $(7; \infty)$ - плюс.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля, то есть где стоит знак "плюс". Это интервалы $(-6; 1)$ и $(7; \infty)$.

Ответ: $x \in (-6; 1) \cup (7; \infty)$

2) $(x + 4)(6 - x)^8(3x - 1)^5 > 0$

Найдем нули функции $f(x) = (x + 4)(6 - x)^8(3x - 1)^5$. Корнями являются $x_1 = -4$ (кратность 1), $x_2 = 6$ (кратность 8), $x_3 = 1/3$ (кратность 5).

Множитель $(6 - x)^8$ всегда неотрицателен, так как показатель степени четный. Он равен нулю при $x = 6$. Поскольку неравенство строгое ($>0$), точка $x=6$ не является решением. При $x \ne 6$ множитель $(6-x)^8$ положителен, и на него можно разделить обе части неравенства, не меняя знака.

Получаем неравенство $(x + 4)(3x - 1)^5 > 0$ при условии $x \ne 6$.

Решаем его методом интервалов. Корни $x = -4$ и $x = 1/3$ имеют нечетную кратность, значит, при переходе через них знак выражения меняется. На числовой прямой отмечаем точки $-4$ и $1/3$. Они разбивают прямую на интервалы $(-\infty; -4)$, $(-4; 1/3)$ и $(1/3; \infty)$.

Определим знаки: при $x > 1/3$ выражение положительно, при $-4 < x < 1/3$ - отрицательно, при $x < -4$ - положительно.

Решением неравенства $(x + 4)(3x - 1)^5 > 0$ является объединение интервалов $(-\infty; -4) \cup (1/3; \infty)$.

Теперь необходимо учесть условие $x \ne 6$. Точка $6$ попадает в интервал $(1/3; \infty)$, поэтому ее нужно исключить из решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (1/3; 6) \cup (6; \infty)$

3) $\frac{4x}{x^2 - 6x + 5} + \frac{3}{x - 1} \ge \frac{2}{x - 5}$

Разложим знаменатель $x^2 - 6x + 5$ на множители: $x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:$\frac{4x}{(x - 1)(x - 5)} + \frac{3}{x - 1} - \frac{2}{x - 5} \ge 0$

$\frac{4x + 3(x - 5) - 2(x - 1)}{(x - 1)(x - 5)} \ge 0$

Раскроем скобки в числителе:$\frac{4x + 3x - 15 - 2x + 2}{(x - 1)(x - 5)} \ge 0$

$\frac{5x - 13}{(x - 1)(x - 5)} \ge 0$

Решаем полученное рациональное неравенство методом интервалов. Находим нули числителя: $5x - 13 = 0 \Rightarrow x = 13/5 = 2.6$. Эта точка входит в решение, так как неравенство нестрогое. Находим нули знаменателя: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$; $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$. Эти точки не входят в решение (выколотые точки).

Отмечаем на числовой прямой точки $1$, $2.6$, $5$. Определяем знаки дроби в полученных интервалах. При $x > 5$ дробь положительна. Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки чередуются.

Знаки на интервалах: $(-\infty; 1)$ - минус, $(1; 2.6]$ - плюс, $[2.6; 5)$ - минус, $(5; \infty)$ - плюс.

Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (1; 13/5] \cup (5; \infty)$

4) $(x^2 - 49)\sqrt{x^2 - 4} \ge 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:$x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) \ge 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty; -2] \cup [2; \infty)$.

Рассмотрим два случая для исходного неравенства.

Случай 1: $\sqrt{x^2 - 4} = 0$. Это возможно при $x^2 - 4 = 0$, то есть при $x = 2$ и $x = -2$. В этих точках левая часть неравенства равна 0, что удовлетворяет условию $\ge 0$. Обе точки входят в ОДЗ. Значит, $x = -2$ и $x = 2$ являются решениями.

Случай 2: $\sqrt{x^2 - 4} > 0$. Это выполняется при $x^2 - 4 > 0$, то есть $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$. В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $\sqrt{x^2 - 4}$, знак неравенства не изменится:$x^2 - 49 \ge 0 \Rightarrow (x - 7)(x + 7) \ge 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty; -7] \cup [7; \infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с условием для данного случая:$( (-\infty; -7] \cup [7; \infty) ) \cap ( (-\infty; -2) \cup (2; \infty) ) = (-\infty; -7] \cup [7; \infty)$.

Объединим решения из обоих случаев: $(-\infty; -7] \cup [7; \infty)$ и точки $x = -2$, $x = 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup \{-2\} \cup \{2\} \cup [7; \infty)$

2. Найдите множество решений неравенства $|x - a|(2x^2 - x - 3) \le 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

Множитель $|x - a|$ всегда неотрицателен ($|x - a| \ge 0$) при любых значениях $x$ и $a$.

Произведение неотрицательного множителя $|x - a|$ и множителя $(2x^2 - x - 3)$ будет меньше или равно нулю в двух случаях:1. Когда произведение равно нулю. Это происходит, если $|x - a| = 0$ (т.е. $x = a$) или $2x^2 - x - 3 = 0$.2. Когда произведение отрицательно. Это происходит, если $|x - a| > 0$ (т.е. $x \ne a$) и $2x^2 - x - 3 < 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 - x - 3 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.$x_1 = \frac{1 - 5}{4} = -1$, $x_2 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Таким образом, неравенство $2x^2 - x - 3 \le 0$ (объединяя случаи, когда трехчлен равен нулю или отрицателен) имеет решение $x \in [-1; 3/2]$.

Решение исходного неравенства состоит из всех $x$, для которых $2x^2 - x - 3 \le 0$, а также из $x=a$, при котором левая часть обращается в ноль. Следовательно, множество решений неравенства есть объединение множеств $[-1; 3/2]$ и $\{a\}$.

Теперь рассмотрим, как это множество выглядит в зависимости от значения параметра $a$.

1. Если параметр $a$ принадлежит отрезку $[-1; 3/2]$, то есть $-1 \le a \le 3/2$, то точка $a$ уже содержится в этом отрезке. Объединение $[-1; 3/2] \cup \{a\}$ будет равно самому отрезку $[-1; 3/2]$.

2. Если параметр $a$ не принадлежит отрезку $[-1; 3/2]$, то есть $a < -1$ или $a > 3/2$, то $a$ является изолированной точкой, которая добавляется к отрезку $[-1; 3/2]$.

Ответ:
При $a < -1$, $x \in \{a\} \cup [-1; 3/2]$;
При $-1 \le a \le 3/2$, $x \in [-1; 3/2]$;
При $a > 3/2$, $x \in [-1; 3/2] \cup \{a\}$.