Номер 7, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 7, страница 21.

Условие.

Самостоятельная работа № 7

Квадратичная функция, её график и свойства

1. Постройте график функции $f(x) = x^2 + 6x + 8$. Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

3) множество решений неравенства: а) $f(x) > 0$; б) $f(x) \le 0$;

4) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: а) $[-4; 0]$; б) $[1; 3]$.

2. Изобразите схематически график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если $a < 0$, $c > 0$, $-\frac{b}{2a} > 0$.

3. При каких значениях параметра $a$ произведение корней уравнения $x^2 - 2ax + a^2 - 2a + 4 = 0$ принимает наименьшее значение?

Решение.

1.

Для построения графика функции $f(x) = x^2 + 6x + 8$ найдем ключевые характеристики параболы.

1. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$
$y_v = f(x_v) = f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$
Вершина находится в точке $(-3, -1)$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью $Oy$: $x=0$, $f(0) = 0^2 + 6 \cdot 0 + 8 = 8$. Точка пересечения $(0, 8)$.
С осью $Ox$: $f(x)=0$, $x^2 + 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -4$ и $x_2 = -2$. Точки пересечения $(-4, 0)$ и $(-2, 0)$.

4. Ось симметрии параболы — прямая $x = -3$.

На основе этих данных строим график (парабола, проходящая через точки $(-4, 0)$, $(-2, 0)$, с вершиной в $(-3, -1)$ и пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, 8)$). Используя график, находим:

1) область значений функции

Так как ветви параболы направлены вверх, а ордината её вершины равна -1, то функция принимает все значения, большие или равные -1.
Ответ: $E(f) = [-1; +\infty)$.

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции

Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x=-3$. Слева от вершины функция убывает, справа — возрастает.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -3]$ и возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$.

3) множество решений неравенства

а) $f(x) > 0$
Функция положительна там, где её график расположен выше оси $Ox$. Это происходит на интервалах левее корня $x=-4$ и правее корня $x=-2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-2; +\infty)$.

б) $f(x) \le 0$
Функция отрицательна или равна нулю там, где её график расположен ниже или на оси $Ox$. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.
Ответ: $x \in [-4; -2]$.

4) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке

а) $[-4; 0]$
На данном промежутке находится вершина параболы $x_v = -3$. В ней функция достигает своего наименьшего значения: $f_{min} = f(-3) = -1$. Наибольшее значение будет на одном из концов промежутка. Сравним значения функции в точках $x=-4$ и $x=0$.
$f(-4) = 0$
$f(0) = 8$
Следовательно, $f_{max} = 8$.
Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 8.

б) $[1; 3]$
Данный промежуток находится правее вершины параболы, на нем функция монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце промежутка, а наибольшее — на правом.
$f_{min} = f(1) = 1^2 + 6 \cdot 1 + 8 = 15$
$f_{max} = f(3) = 3^2 + 6 \cdot 3 + 8 = 9 + 18 + 8 = 35$
Ответ: наименьшее значение 15, наибольшее значение 35.

2.

Проанализируем условия, которым должен удовлетворять график функции $y = ax^2 + bx + c$.

1. Условие $a < 0$ означает, что ветви параболы направлены вниз.

2. Условие $c > 0$ означает, что парабола пересекает ось ординат ($Oy$) в точке с положительной ординатой, то есть выше начала координат. Точка пересечения $(0, c)$.

3. Условие $-\frac{b}{2a} > 0$ означает, что абсцисса вершины параболы $x_v$ положительна. Следовательно, вершина параболы расположена в правой полуплоскости (справа от оси $Oy$).

Из этих условий следует, что вершина параболы находится в первой координатной четверти, так как она расположена справа от оси $Oy$, а ветви направлены вниз от точки пересечения с осью $Oy$, которая находится выше оси $Ox$. Поскольку вершина находится выше оси $Ox$ и ветви направлены вниз, график функции будет пересекать ось абсцисс ($Ox$) в двух различных точках.

Ответ: Схематический график представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, вершина которой находится в первой координатной четверти. Парабола пересекает ось $Oy$ в положительной точке и пересекает ось $Ox$ в двух точках (одна из которых будет отрицательной, а другая — положительной).

3.

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 - 2ax + a^2 - 2a + 4 = 0$.

Для того чтобы уравнение имело корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 2a + 4) = 4a^2 - 4a^2 + 8a - 16 = 8a - 16$.

Решим неравенство $D \ge 0$:
$8a - 16 \ge 0$
$8a \ge 16$
$a \ge 2$

Таким образом, уравнение имеет действительные корни только при $a \in [2; +\infty)$.

По теореме Виета, произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно свободному члену приведенного квадратного уравнения:
$P(a) = x_1 \cdot x_2 = a^2 - 2a + 4$.

Нам необходимо найти, при каком значении $a$ из промежутка $[2; +\infty)$ функция $P(a) = a^2 - 2a + 4$ принимает наименьшее значение. Функция $P(a)$ является квадратичной относительно $a$, её график — парабола с ветвями, направленными вверх. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.
Абсцисса вершины параболы $P(a)$:
$a_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Вершина находится в точке $a=1$. При $a > 1$ функция $P(a)$ возрастает. Поскольку допустимые значения параметра $a$ определяются условием $a \ge 2$, а на этом промежутке функция $P(a)$ монотонно возрастает, то свое наименьшее значение она примет в начальной точке этого промежутка, то есть при $a = 2$.

Ответ: $a=2$.