Номер 12, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 12, страница 23.

Условие.

Самостоятельная работа № 12

Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными

1. Решите графически систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12. \end{cases} $

2. Определите графически количество решений системы уравнений $ \begin{cases} |y| = x, \\ y = -x^2 + 2x + 3. \end{cases} $

3. Сколько решений имеет система уравнений $ \begin{cases} ax + 3y = 12 - a, \\ 12x + ay = 12 \end{cases} $ в зависимости от значения параметра a?

Решение.

1.

Для решения системы уравнений графическим методом построим графики каждого уравнения на одной координатной плоскости.

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 25$, задает окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение, $xy = 12$, можно представить в виде функции $y = \frac{12}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

Построив графики, мы ищем их точки пересечения. Для гиперболы можно найти ключевые точки, например: (3, 4), (4, 3), (-3, -4), (-4, -3). Простая проверка показывает, что все эти точки также удовлетворяют уравнению окружности, например, для точки (3, 4): $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Таким образом, графики пересекаются в четырех точках.

Ответ: (3, 4), (4, 3), (-3, -4), (-4, -3).

2.

Чтобы определить количество решений системы, построим графики уравнений и посчитаем количество точек их пересечения.

График первого уравнения, $|y| = x$, представляет собой объединение двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x \ge 0$.

График второго уравнения, $y = -x^2 + 2x + 3$, — это парабола с ветвями, направленными вниз. Координаты ее вершины: $x_0 = -\frac{2}{2(-1)} = 1$, $y_0 = -(1)^2 + 2(1) + 3 = 4$, то есть точка (1, 4). Парабола пересекает ось Oy в точке (0, 3) и ось Ox в точках (3, 0) и (-1, 0).

При наложении графиков видно, что парабола пересекает верхний луч ($y=x$) в одной точке и нижний луч ($y=-x$) также в одной точке. Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2.

3.

Система уравнений является линейной:
$ax + 3y = 12 - a$
$12x + ay = 12$
Количество решений такой системы зависит от соотношения коэффициентов при переменных и свободных членов.

1. Система имеет одно решение, если отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$: $\frac{a}{12} \neq \frac{3}{a}$. Это неравенство равносильно $a^2 \neq 36$, то есть $a \neq 6$ и $a \neq -6$.

2. Если $\frac{a}{12} = \frac{3}{a}$, то есть при $a=6$ или $a=-6$, система может не иметь решений или иметь бесконечно много решений. Рассмотрим эти случаи отдельно.
- При $a=6$ получаем отношения: $\frac{6}{12} = \frac{3}{6}$ и $\frac{12-6}{12} = \frac{6}{12}$. Так как $\frac{6}{12} = \frac{3}{6} = \frac{6}{12}$ (все равны $\frac{1}{2}$), система имеет бесконечно много решений.
- При $a=-6$ получаем отношения: $\frac{-6}{12} = \frac{3}{-6}$ и $\frac{12-(-6)}{12} = \frac{18}{12}$. Так как $\frac{-6}{12} = \frac{3}{-6} \neq \frac{18}{12}$ (то есть $-\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \neq \frac{3}{2}$), система не имеет решений.

Ответ: если $a = 6$, система имеет бесконечно много решений; если $a = -6$, система не имеет решений; если $a \neq 6$ и $a \neq -6$, система имеет одно решение.