Номер 17, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 17, страница 25.

Условие.

Самостоятельная работа № 17

Основные методы доказательства неравенств

1. Докажите неравенство:

1) $16x^2 - 8xy + 3y^2 \ge 0;$

2) $m^2n^2 + m^2 + 4n^2 + 9 \ge 10mn;$

3) $\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{n \cdot (n+4)} < \frac{1}{4}$, где $n \in N;$

4) $9c^2 + d^2 + 4 \ge 3cd - 6c - 2d.$

2. Известно, что $a \in [0; 2]$, $b \in [0; 2]$, $c \in [0; 2]$. Докажите неравенство $\frac{a}{4+b} + \frac{b}{4+c} + \frac{c}{4+a} \le 1.$

Решение.

1. Докажите неравенство:

1) $16x^2 - 8xy + 3y^2 \ge 0$

Для доказательства этого неравенства выделим полный квадрат. Представим левую часть выражения в следующем виде:

$16x^2 - 8xy + 3y^2 = (16x^2 - 8xy + y^2) + 2y^2$

Первые три слагаемых образуют полный квадрат разности:

$(4x - y)^2 + 2y^2$

Выражение $(4x - y)^2$ всегда неотрицательно, так как является квадратом действительного числа: $(4x - y)^2 \ge 0$.

Выражение $2y^2$ также всегда неотрицательно: $2y^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных выражений всегда неотрицательна. Следовательно, $(4x - y)^2 + 2y^2 \ge 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2) $m^2n^2 + m^2 + 4n^2 + 9 \ge 10mn$

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$m^2n^2 - 10mn + m^2 + 4n^2 + 9 \ge 0$

Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить сумму полных квадратов. Представим $-10mn$ как $-6mn - 4mn$:

$(m^2n^2 - 6mn + 9) + (m^2 - 4mn + 4n^2) \ge 0$

Первая группа слагаемых является полным квадратом $(mn - 3)^2$, а вторая — полным квадратом $(m - 2n)^2$. Таким образом, неравенство принимает вид:

$(mn - 3)^2 + (m - 2n)^2 \ge 0$

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, имеем $(mn - 3)^2 \ge 0$ и $(m - 2n)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений также неотрицательна. Таким образом, неравенство верно для любых действительных $m$ и $n$.

Ответ: Неравенство доказано.

3) $\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{n \cdot (n+4)} < \frac{1}{4}$, где $n \in \mathbb{N}$

Заметим, что знаменатели дробей образуют последовательность, где общий член суммы имеет вид $\frac{1}{(4k-3)(4k+1)}$. Последний член $\frac{1}{n(n+4)}$ соответствует случаю, когда $n = 4m-3$ для некоторого натурального числа $m$ (числа слагаемых в сумме).

Представим общий член суммы в виде разности двух дробей:

$\frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1} \right)$

Тогда вся сумма $S_m$ (состоящая из $m$ слагаемых) может быть записана как:

$S_m = \frac{1}{4} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{9}\right) + \dots + \left(\frac{1}{4m-3} - \frac{1}{4m+1}\right) \right]$

Это телескопическая сумма, в которой все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$S_m = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{4m+1} \right)$

Теперь докажем исходное неравенство:

$\frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{4m+1} \right) < \frac{1}{4}$

Умножим обе части на 4:

$1 - \frac{1}{4m+1} < 1$

Вычтем 1 из обеих частей:

$-\frac{1}{4m+1} < 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{1}{4m+1} > 0$

Поскольку $m$ — это количество слагаемых, $m \ge 1$ и является натуральным числом. Следовательно, $4m+1 > 0$, и дробь $\frac{1}{4m+1}$ всегда положительна. Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

4) $9c^2 + d^2 + 4 > 3cd - 6c - 2d$

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$9c^2 - 3cd + 6c + d^2 + 2d + 4 > 0$

Рассмотрим левую часть как квадратный трехчлен относительно переменной $c$:

$9c^2 + (6 - 3d)c + (d^2 + 2d + 4) > 0$

Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $c^2$ равен $9 > 0$. Найдем дискриминант $D$ этого трехчлена:

$D = (6 - 3d)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (d^2 + 2d + 4) = 9(2 - d)^2 - 36(d^2 + 2d + 4)$

$D = 9(4 - 4d + d^2) - 36d^2 - 72d - 144 = -27d^2 - 108d - 108$

$D = -27(d^2 + 4d + 4) = -27(d+2)^2$

Поскольку $(d+2)^2 \ge 0$ для любого действительного $d$, дискриминант $D = -27(d+2)^2 \le 0$.

Если $d \ne -2$, то $D < 0$, и квадратный трехчлен относительно $c$ строго больше нуля для любого $c$, так как его ветви направлены вверх.

Если $d = -2$, то $D = 0$, и левая часть неравенства превращается в полный квадрат: $9c^2 + (6 - 3(-2))c + ((-2)^2 + 2(-2) + 4) = 9c^2 + 12c + 4 = (3c+2)^2$. В этом случае неравенство принимает вид $(3c+2)^2 > 0$, что верно для всех $c$, кроме $c = -2/3$. При $c = -2/3$ и $d = -2$ левая часть равна нулю, и неравенство $0 > 0$ не выполняется. Следовательно, исходное неравенство неверно для всех $c, d$. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка и неравенство должно быть нестрогим ($\ge$).

Ответ: Неравенство не является верным для всех $c,d$. Оно не выполняется при $c = -2/3$ и $d = -2$, когда достигается равенство. Если неравенство нестрогое ($9c^2 + d^2 + 4 \ge 3cd - 6c - 2d$), то оно верно для всех $c,d$.

2. Известно, что $a \in [0; 2], b \in [0; 2], c \in [0; 2]$. Докажите неравенство $\frac{a}{4+b} + \frac{b}{4+c} + \frac{c}{4+a} \le 1$.

Рассмотрим функцию $S(a,b,c) = \frac{a}{4+b} + \frac{b}{4+c} + \frac{c}{4+a}$ на области определения $a, b, c \in [0; 2]$.

Докажем, что эта функция возрастает по каждой из своих переменных на заданной области.

Например, докажем, что при увеличении $a$ (при фиксированных $b$ и $c$) значение $S$ не уменьшается. Сравним $S(a_2, b, c)$ и $S(a_1, b, c)$ для $0 \le a_1 \le a_2 \le 2$:

$S(a_2, b, c) - S(a_1, b, c) = \left( \frac{a_2}{4+b} + \frac{c}{4+a_2} \right) - \left( \frac{a_1}{4+b} + \frac{c}{4+a_1} \right)$

$= \frac{a_2-a_1}{4+b} + c\left(\frac{1}{4+a_2} - \frac{1}{4+a_1}\right) = \frac{a_2-a_1}{4+b} + c\frac{a_1-a_2}{(4+a_2)(4+a_1)}$

$= (a_2-a_1) \left( \frac{1}{4+b} - \frac{c}{(4+a_1)(4+a_2)} \right)$

Так как $a_2-a_1 \ge 0$, знак разности зависит от второго множителя. Оценим его, используя условия $a, b, c \in [0; 2]$:

$c \le 2$, $b \le 2$. Следовательно, $4+b \le 6$.

$(4+a_1)(4+a_2) \ge (4+0)(4+0) = 16$.

Тогда $\frac{c}{(4+a_1)(4+a_2)} \le \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

А $\frac{1}{4+b} \ge \frac{1}{4+2} = \frac{1}{6}$.

Поскольку $\frac{1}{6} > \frac{1}{8}$, то разность $\frac{1}{4+b} - \frac{c}{(4+a_1)(4+a_2)}$ всегда положительна. Следовательно, $S(a_2, b, c) - S(a_1, b, c) \ge 0$, и функция $S$ возрастает (точнее, не убывает) по переменной $a$.

Аналогично можно доказать, что функция не убывает по переменным $b$ и $c$.

Поскольку функция $S(a,b,c)$ не убывает по каждой переменной на заданном отрезке, свое наибольшее значение она принимает в точке, где все переменные принимают максимально возможное значение, то есть в точке $(2, 2, 2)$.

Найдем это максимальное значение:

$S(2,2,2) = \frac{2}{4+2} + \frac{2}{4+2} + \frac{2}{4+2} = \frac{2}{6} + \frac{2}{6} + \frac{2}{6} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$.

Следовательно, для любых $a, b, c \in [0; 2]$ выполняется неравенство $S(a,b,c) \le S(2,2,2) = 1$.

Ответ: Неравенство доказано.