Номер 21, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 21, страница 26.

Условие.

Самостоятельная работа № 21

Абсолютная и относительная погрешность

1. Запишите в виде двойного неравенства:

1) $x = 16 \pm 0,4;$

2) $x = \frac{5}{7} \pm \frac{1}{3};$

3) $x = 10,2 \pm 3.$

2. Найдите абсолютную погрешность приближения числа $\frac{1}{7}$ числом:

1) 0,14;

2) 0,143.

3. В справочнике указано, что плотность аммиака равна $0,771 \cdot 10^{-3} \text{ г/см}^3$. С какой точностью указано приближённое значение плотности аммиака?

4. В справочнике указано, что масса атома меди равна $1,05 \cdot 10^{-25} \text{ кг}$. Оцените относительную погрешность этого приближения.

Решение.

1. Запишем данные выражения в виде двойного неравенства, используя правило: запись $x = a \pm h$ эквивалентна двойному неравенству $a - h \le x \le a + h$.

1) Для $x = 16 \pm 0,4$ имеем $a=16$ и $h=0,4$.

Подставляем значения в формулу:

$16 - 0,4 \le x \le 16 + 0,4$

$15,6 \le x \le 16,4$

Ответ: $15,6 \le x \le 16,4$.

2) Для $x = \frac{5}{7} \pm \frac{1}{3}$ имеем $a=\frac{5}{7}$ и $h=\frac{1}{3}$.

Для выполнения вычислений приведем дроби к общему знаменателю, который равен $21$:

$a = \frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{15}{21}$

$h = \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{7}{21}$

Теперь запишем двойное неравенство:

$\frac{15}{21} - \frac{7}{21} \le x \le \frac{15}{21} + \frac{7}{21}$

$\frac{8}{21} \le x \le \frac{22}{21}$

Ответ: $\frac{8}{21} \le x \le \frac{22}{21}$.

3) Для $x = 10,2 \pm 3$ имеем $a=10,2$ и $h=3$.

Подставляем значения в формулу:

$10,2 - 3 \le x \le 10,2 + 3$

$7,2 \le x \le 13,2$

Ответ: $7,2 \le x \le 13,2$.

2. Абсолютная погрешность ($\Delta$) приближения вычисляется как модуль разности между точным значением ($a$) и его приближённым значением ($a^*$): $\Delta = |a - a^*|$. В данной задаче точное значение $a = \frac{1}{7}$.

1) Приближённое значение $a^* = 0,14$.

$\Delta = |\frac{1}{7} - 0,14| = |\frac{1}{7} - \frac{14}{100}| = |\frac{1}{7} - \frac{7}{50}| = |\frac{1 \cdot 50}{7 \cdot 50} - \frac{7 \cdot 7}{50 \cdot 7}| = |\frac{50 - 49}{350}| = \frac{1}{350}$.

Ответ: $\frac{1}{350}$.

2) Приближённое значение $a^* = 0,143$.

$\Delta = |\frac{1}{7} - 0,143| = |\frac{1}{7} - \frac{143}{1000}| = |\frac{1 \cdot 1000}{7 \cdot 1000} - \frac{143 \cdot 7}{1000 \cdot 7}| = |\frac{1000 - 1001}{7000}| = |\frac{-1}{7000}| = \frac{1}{7000}$.

Ответ: $\frac{1}{7000}$.

3. Приближённое значение плотности аммиака дано как $0,771 \cdot 10^{-3}$ г/см³. Вопрос "с какой точностью" просит найти предел абсолютной погрешности. Точность записи числа определяется его последней значащей цифрой. Для числа $0,771$ последняя значащая цифра (1) находится в разряде тысячных. Абсолютная погрешность измерения считается равной половине единицы последнего значащего разряда.

Абсолютная погрешность мантиссы $0,771$ составляет: $h_{мант} = 0,5 \cdot 0,001 = 0,0005$.

Следовательно, абсолютная погрешность для всего значения плотности равна:

$h = 0,0005 \cdot 10^{-3} = 5 \cdot 10^{-4} \cdot 10^{-3} = 5 \cdot 10^{-7}$ г/см³.

Таким образом, значение плотности указано с точностью до $5 \cdot 10^{-7}$ г/см³.

Ответ: $5 \cdot 10^{-7}$ г/см³.

4. Приближённое значение массы атома меди равно $m^* = 1,05 \cdot 10^{-25}$ кг. Чтобы оценить относительную погрешность, сначала найдём абсолютную погрешность, как в предыдущей задаче.

В мантиссе $1,05$ последняя значащая цифра (5) находится в разряде сотых. Абсолютная погрешность мантиссы равна: $h_{мант} = 0,5 \cdot 0,01 = 0,005$.

Абсолютная погрешность для значения массы: $h = 0,005 \cdot 10^{-25}$ кг.

Относительная погрешность $\delta$ — это отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения: $\delta = \frac{h}{|m^*|}$.

$\delta = \frac{0,005 \cdot 10^{-25}}{|1,05 \cdot 10^{-25}|} = \frac{0,005 \cdot 10^{-25}}{1,05 \cdot 10^{-25}} = \frac{0,005}{1,05} = \frac{5}{1050} = \frac{1}{210}$.

Относительную погрешность также часто выражают в процентах:

$\delta = \frac{1}{210} \cdot 100\% \approx 0,476\%$. Округляя, получаем $\approx 0,48\%$.

Ответ: $\frac{1}{210}$ (или примерно $0,48\%$).