Номер 25, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 25, страница 28.

Условие.

Самостоятельная работа № 25

Сочетания

1. Упростите выражение

$\frac{12}{n+5}C^{n+4}_{n+6}$

2. Решите в натуральных числах уравнение

$A^2_{x+1} + C^{x+3}_{x+5} = 97$

3. В ремонтной организации работают 15 маляров и 10 штукатуров. Сколькими способами можно составить бригаду из 5 маляров и 3 штукатуров?

4. Есть 16 карандашей разного цвета. Сколькими способами можно составить набор из 5 карандашей, если синий и зелёный карандаши не могут одновременно входить в набор?

Решение.

1. Упростим выражение $\frac{12}{n+5}C_{n+6}^{n+4}$.
Используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Также удобно воспользоваться свойством $C_n^k = C_n^{n-k}$.
$C_{n+6}^{n+4} = C_{n+6}^{(n+6)-(n+4)} = C_{n+6}^2$.
Теперь распишем сочетание по формуле:
$C_{n+6}^2 = \frac{(n+6)!}{2!((n+6)-2)!} = \frac{(n+6)!}{2!(n+4)!} = \frac{(n+4)!(n+5)(n+6)}{2(n+4)!} = \frac{(n+5)(n+6)}{2}$.
Подставим полученное выражение в исходное:
$\frac{12}{n+5} \cdot C_{n+6}^{n+4} = \frac{12}{n+5} \cdot \frac{(n+5)(n+6)}{2}$.
Сократим дробь на $(n+5)$ и на 2:
$\frac{12 \cdot (n+5)(n+6)}{(n+5) \cdot 2} = 6(n+6) = 6n + 36$.
Ответ: $6n + 36$.

2. Решим уравнение $A_{x+1}^2 + C_{x+5}^{x+3} = 97$ в натуральных числах.
Сначала упростим левую часть уравнения, используя формулы для размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
$A_{x+1}^2 = \frac{(x+1)!}{(x+1-2)!} = \frac{(x+1)!}{(x-1)!} = \frac{(x-1)! \cdot x \cdot (x+1)}{(x-1)!} = x(x+1) = x^2+x$.
$C_{x+5}^{x+3} = C_{x+5}^{x+5-(x+3)} = C_{x+5}^2 = \frac{(x+5)!}{2!(x+5-2)!} = \frac{(x+5)!}{2!(x+3)!} = \frac{(x+3)!(x+4)(x+5)}{2(x+3)!} = \frac{(x+4)(x+5)}{2}$.
Подставим полученные выражения в уравнение:
$x^2 + x + \frac{(x+4)(x+5)}{2} = 97$.
Раскроем скобки и умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$2(x^2 + x) + (x^2 + 9x + 20) = 194$.
$2x^2 + 2x + x^2 + 9x + 20 - 194 = 0$.
$3x^2 + 11x - 174 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-174) = 121 + 2088 = 2209 = 47^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - 47}{2 \cdot 3} = \frac{-58}{6} = -\frac{29}{3}$. Этот корень не является натуральным числом.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + 47}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$. Этот корень является натуральным числом.
Проверим, удовлетворяет ли корень $x=6$ области определения: для $A_{x+1}^2$ необходимо $x+1 \ge 2 \implies x \ge 1$. Корень $x=6$ подходит.
Ответ: 6.

3. Для составления бригады нужно выбрать 5 маляров из 15 и 3 штукатуров из 10. Поскольку порядок выбора рабочих не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Число способов выбрать 5 маляров из 15:
$C_{15}^5 = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3003$ способа.
Число способов выбрать 3 штукатуров из 10:
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$ способов.
Так как выбор маляров и штукатуров — независимые события, общее число способов формирования бригады находится по правилу произведения:
$N = C_{15}^5 \cdot C_{10}^3 = 3003 \cdot 120 = 360360$ способов.
Ответ: 360360.

4. Требуется найти количество способов составить набор из 5 карандашей из 16, при условии, что синий и зелёный карандаши не могут находиться в наборе одновременно.
Задачу можно решить двумя способами.
Способ 1: Метод исключения.
1. Найдём общее число способов выбрать 5 карандашей из 16 без каких-либо ограничений:
$C_{16}^5 = \frac{16!}{5!(16-5)!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 4368$ способов.
2. Найдём число "запрещённых" наборов, то есть тех, в которых присутствуют и синий, и зелёный карандаши. Если мы уже выбрали эти 2 карандаша, то нам остаётся выбрать ещё $5 - 2 = 3$ карандаша из оставшихся $16 - 2 = 14$ карандашей.
$C_{14}^3 = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 364$ способа.
3. Вычтем число "запрещённых" наборов из общего числа, чтобы найти количество подходящих наборов:
$4368 - 364 = 4004$ способа.

Способ 2: Комбинация подходящих случаев.
Условию "синий и зелёный карандаши не могут одновременно входить в набор" удовлетворяют три непересекающихся случая:
1. В наборе нет ни синего, ни зелёного карандаша. Тогда мы выбираем 5 карандашей из оставшихся $16 - 2 = 14$ карандашей:
$C_{14}^5 = \frac{14!}{5!9!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2002$ способа.
2. В наборе есть синий, но нет зелёного. Мы берём синий карандаш (1 способ) и выбираем оставшиеся $5 - 1 = 4$ карандаша из тех, что не являются ни синим, ни зелёным (их 14):
$C_{14}^4 = \frac{14!}{4!10!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1001$ способ.
3. В наборе есть зелёный, но нет синего. Аналогично предыдущему случаю, это $C_{14}^4 = 1001$ способ.
Суммируем количество способов для всех трёх случаев:
$2002 + 1001 + 1001 = 4004$ способа.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 4004.