Номер 28, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 28, страница 29.

Условие.

Самостоятельная работа № 28

Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики

1. В корзинке лежат 16 яблок, из которых 6 красные. Какова вероятность того, что выбранные наугад 4 яблока окажутся красными?

2. В вазе стоят 9 красных, 6 розовых и 4 белых гвоздики. Наугад выбирают 9 гвоздик. Какова вероятность того, что среди выбранных гвоздик будут 4 красных, 3 розовых и 2 белых гвоздики?

3. Наугад выбирают 4 буквы из слова «СЕРЕДИНА». Какова вероятность того, что из выбранных четырёх букв можно составить слово «СЕРА»?

Решение.

1.

Для решения задачи используем классическое определение вероятности: $P = M/N$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Общее число способов выбрать 4 яблока из 16 равно числу сочетаний из 16 по 4, так как порядок выбора не важен:

$N = C_{16}^4 = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1820$.

Число благоприятных исходов — это количество способов выбрать 4 красных яблока из 6 имеющихся красных яблок:

$M = C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.

Вероятность того, что все 4 выбранных яблока окажутся красными, равна:

$P = \frac{M}{N} = \frac{15}{1820} = \frac{3}{364}$.

Ответ: $\frac{3}{364}$

2.

Всего в вазе $9 + 6 + 4 = 19$ гвоздик. Нужно найти вероятность выбрать 4 красных, 3 розовых и 2 белых гвоздики при случайном выборе 9 гвоздик.

Общее число способов выбрать 9 гвоздик из 19:

$N = C_{19}^9 = \frac{19!}{9!(19-9)!} = \frac{19!}{9!10!} = \frac{19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 92378$.

Число благоприятных исходов $M$ находим по правилу произведения комбинаций. Нужно выбрать 4 красных из 9, 3 розовых из 6 и 2 белых из 4.

Число способов выбрать 4 красных гвоздики из 9: $C_9^4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$.

Число способов выбрать 3 розовых гвоздики из 6: $C_6^3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Число способов выбрать 2 белых гвоздики из 4: $C_4^2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Общее число благоприятных исходов: $M = C_9^4 \cdot C_6^3 \cdot C_4^2 = 126 \cdot 20 \cdot 6 = 15120$.

Искомая вероятность:

$P = \frac{M}{N} = \frac{15120}{92378} = \frac{7560}{46189}$.

Ответ: $\frac{7560}{46189}$

3.

В слове «СЕРЕДИНА» 8 букв. Состав букв: С-1, Е-2, Р-1, Д-1, И-1, Н-1, А-1.

Общее число способов $N$ выбрать 4 буквы из 8 имеющихся (при этом мы считаем каждую букву уникальной, например, Е1 и Е2) равно числу сочетаний из 8 по 4:

$N = C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$.

Чтобы из выбранных четырёх букв можно было составить слово «СЕРА», необходимо, чтобы были выбраны именно буквы С, Е, Р, А.

Число благоприятных исходов $M$ — это количество способов выбрать набор букв {С, Е, Р, А}.

- Выбрать букву 'С' можно одним способом: $C_1^1 = 1$.
- Выбрать букву 'Р' можно одним способом: $C_1^1 = 1$.
- Выбрать букву 'А' можно одним способом: $C_1^1 = 1$.
- Выбрать букву 'Е' можно двумя способами (так как в слове две буквы 'Е'): $C_2^1 = 2$.

По правилу произведения, общее число благоприятных исходов равно:

$M = C_1^1 \cdot C_2^1 \cdot C_1^1 \cdot C_1^1 = 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$.

Искомая вероятность равна:

$P = \frac{M}{N} = \frac{2}{70} = \frac{1}{35}$.

Ответ: $\frac{1}{35}$