Номер 24, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 24, страница 28.

Условие.

Самостоятельная работа № 24

Размещения

1. В девятом классе учится 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и его заместителя?

2. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $A_{x+5}^2 = 182;$

2) $\frac{P_{x+6}}{A_{x+3}^4 \cdot P_{x-1}} = 336.$

3. Сколько четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы цифры не повторялись и последние две цифры были нечётными?

Решение.

1.

В классе 30 учеников. Нам нужно выбрать из них двух человек на две различные должности: староста и заместитель. Поскольку важен порядок выбора (выбор "ученик А - староста, ученик Б - заместитель" отличается от выбора "ученик Б - староста, ученик А - заместитель"), эта задача на нахождение числа размещений.

Число способов выбрать старосту из 30 учеников равно 30. После того как староста выбран, остается 29 учеников, из которых нужно выбрать заместителя. Число способов выбрать заместителя равно 29.

По правилу умножения в комбинаторике, общее число способов выбрать старосту и его заместителя равно произведению числа способов выбора на каждом шаге: $30 \times 29 = 870$.

Также можно использовать формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В нашем случае $n=30$ (всего учеников), а $k=2$ (две должности).

$A_{30}^2 = \frac{30!}{(30-2)!} = \frac{30!}{28!} = \frac{30 \times 29 \times 28!}{28!} = 30 \times 29 = 870$.

Ответ: 870.

2.

1) $A_{x+5}^2 = 182$

Воспользуемся определением числа размещений: $A_n^k = n(n-1)...(n-k+1)$.
В данном случае $n = x+5$ и $k=2$. Уравнение принимает вид:

$(x+5)(x+5-1) = 182$

$(x+5)(x+4) = 182$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x + 5x + 20 = 182$

$x^2 + 9x + 20 - 182 = 0$

$x^2 + 9x - 162 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 81 + 648 = 729 = 27^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 27}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 27}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

По условию, $x$ - натуральное число, поэтому корень $x_2 = -18$ не подходит. Проверим также область определения для размещений: $n \ge k$, т.е. $x+5 \ge 2$, что дает $x \ge -3$. Натуральное число $x=9$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: 9.

2) $\frac{P_{x+6}}{A_{x+3}^4 \cdot P_{x-1}} = 336$

Используем формулы для числа перестановок $P_n = n!$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

$P_{x+6} = (x+6)!$

$P_{x-1} = (x-1)!$

$A_{x+3}^4 = \frac{(x+3)!}{(x+3-4)!} = \frac{(x+3)!}{(x-1)!}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\frac{(x+6)!}{\frac{(x+3)!}{(x-1)!} \cdot (x-1)!} = 336$

В знаменателе $(x-1)!$ сокращается:

$\frac{(x+6)!}{(x+3)!} = 336$

Расшифруем факториал в числителе до факториала в знаменателе:

$\frac{(x+6)(x+5)(x+4)(x+3)!}{(x+3)!} = 336$

Сократим $(x+3)!$:

$(x+6)(x+5)(x+4) = 336$

Мы получили произведение трех последовательных натуральных чисел. Попробуем найти решение подбором. Оценим кубический корень из 336.

$6^3 = 216$, $7^3 = 343$.

Числа должны быть близки к 7. Проверим произведение $6 \cdot 7 \cdot 8$:

$6 \cdot 7 \cdot 8 = 42 \cdot 8 = 336$.

Следовательно, мы можем приравнять множители:

$(x+6)(x+5)(x+4) = 8 \cdot 7 \cdot 6$

Отсюда $x+6 = 8$, что дает $x=2$. Проверим для других множителей: $x+5=7 \implies x=2$, $x+4=6 \implies x=2$.

Решение $x=2$ является натуральным числом и удовлетворяет области определения ($x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$ и $x+3 \ge 4 \implies x \ge 1$).

Ответ: 2.

3.

Нам нужно составить четырёхзначное число из цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6} с двумя условиями: цифры не повторяются, и последние две цифры — нечётные.

В наборе {1, 2, 3, 4, 5, 6} есть три нечётные цифры: {1, 3, 5}.

Будем формировать число, заполняя его разряды, начиная с тех, на которые наложены самые строгие ограничения, — это последние два разряда.

1. Выбор последних двух цифр (разряды единиц и десятков).
На эти две позиции мы должны поставить две разные нечётные цифры. Число способов выбрать 2 нечётные цифры из 3 имеющихся и разместить их на двух позициях равно числу размещений $A_3^2$.
$A_3^2 = 3 \times 2 = 6$ способов.
(Например, на место единиц можно поставить любую из 3 нечётных цифр, а на место десятков — любую из 2 оставшихся нечётных).

2. Выбор первых двух цифр (разряды тысяч и сотен).
Две нечётные цифры уже использованы. Всего было 6 цифр. Значит, для первых двух позиций осталось $6 - 2 = 4$ цифры. Нам нужно выбрать 2 цифры из этих 4 и разместить их на двух первых позициях. Число способов сделать это равно $A_4^2$.
$A_4^2 = 4 \times 3 = 12$ способов.
(Например, на место тысяч можно поставить любую из 4 оставшихся цифр, а на место сотен — любую из 3 оставшихся).

3. Общее количество чисел.
По правилу умножения, общее количество таких четырёхзначных чисел равно произведению числа способов на каждом шаге:
Всего чисел = (способы для последних двух цифр) $\times$ (способы для первых двух цифр) = $A_3^2 \times A_4^2 = 6 \times 12 = 72$.

Ответ: 72.