Номер 18, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 18, страница 25.

Условие.

Самостоятельная работа № 18

Неравенства между средними величинами.

Неравенство Коши — Буняковского

1. Для положительных чисел $x$ и $y$ докажите неравенство

$\frac{112x}{y} + \frac{y}{28x} \ge 4.$

2. При $a > 3$ докажите неравенство $a + \frac{1}{a-3} \ge 5.$

3. Известно, что $a^2 + b^2 = 18$, $c^2 + d^2 = 8$. Докажите, что $|ac - bd| \le 12.$

4. Известно, что $x + y = 2$. Докажите, что $\sqrt{x^2 + 4y^2} + \sqrt{y^2 + 4x^2} \ge 3\sqrt{2}.$

Решение.

1.

Воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $A$ и $B$:

$A + B \ge 2\sqrt{AB}$

Поскольку по условию числа $x$ и $y$ положительны, то слагаемые $A = \frac{112x}{y}$ и $B = \frac{y}{28x}$ также являются положительными. Применим к ним неравенство Коши:

$\frac{112x}{y} + \frac{y}{28x} \ge 2\sqrt{\frac{112x}{y} \cdot \frac{y}{28x}}$

Упростим выражение под корнем:

$\frac{112x}{y} \cdot \frac{y}{28x} = \frac{112}{28} = 4$

Подставим полученное значение обратно в неравенство:

$\frac{112x}{y} + \frac{y}{28x} \ge 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$

Таким образом, неравенство $\frac{112x}{y} + \frac{y}{28x} \ge 4$ доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

2.

Преобразуем левую часть неравенства, чтобы выделить слагаемые, к которым можно применить неравенство Коши. Для этого прибавим и вычтем 3:

$a + \frac{1}{a-3} = (a - 3) + 3 + \frac{1}{a-3} = \left((a-3) + \frac{1}{a-3}\right) + 3$

По условию $a > 3$, следовательно, выражение $a-3$ положительно. Это позволяет нам применить неравенство Коши для двух положительных чисел $A = a-3$ и $B = \frac{1}{a-3}$:

$(a-3) + \frac{1}{a-3} \ge 2\sqrt{(a-3) \cdot \frac{1}{a-3}}$

$(a-3) + \frac{1}{a-3} \ge 2\sqrt{1} = 2$

Теперь вернемся к исходному выражению. Мы доказали, что сумма в скобках не меньше 2. Прибавим 3 к обеим частям этого неравенства:

$\left((a-3) + \frac{1}{a-3}\right) + 3 \ge 2 + 3$

$a + \frac{1}{a-3} \ge 5$

Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

3.

Для доказательства воспользуемся неравенством Коши — Буняковского. Для любых действительных чисел $x_1, x_2, y_1, y_2$ оно имеет вид:

$(x_1y_1 + x_2y_2)^2 \le (x_1^2 + x_2^2)(y_1^2 + y_2^2)$

Чтобы получить выражение $ac - bd$, применим неравенство к следующим наборам чисел: $x_1 = a, x_2 = b$ и $y_1 = c, y_2 = -d$.

$(a \cdot c + b \cdot (-d))^2 \le (a^2 + b^2)(c^2 + (-d)^2)$

$(ac - bd)^2 \le (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$

Подставим в это неравенство известные из условия значения $a^2 + b^2 = 18$ и $c^2 + d^2 = 8$:

$(ac - bd)^2 \le 18 \cdot 8$

$(ac - bd)^2 \le 144$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$\sqrt{(ac - bd)^2} \le \sqrt{144}$

$|ac - bd| \le 12$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

4.

Это неравенство можно доказать с помощью неравенства Минковского (неравенство треугольника для векторов), которое является следствием неравенства Коши — Буняковского. Для двух векторов $\vec{u}=(u_1, u_2)$ и $\vec{v}=(v_1, v_2)$ оно гласит: $|\vec{u}| + |\vec{v}| \ge |\vec{u} + \vec{v}|$.

Представим левую часть доказываемого неравенства как сумму длин (модулей) двух векторов. Пусть вектор $\vec{u} = (x, 2y)$ и вектор $\vec{v} = (y, 2x)$.

Тогда их длины равны:

$|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + (2y)^2} = \sqrt{x^2 + 4y^2}$

$|\vec{v}| = \sqrt{y^2 + (2x)^2} = \sqrt{y^2 + 4x^2}$

Таким образом, левая часть неравенства есть $|\vec{u}| + |\vec{v}|$. По неравенству Минковского:

$\sqrt{x^2 + 4y^2} + \sqrt{y^2 + 4x^2} \ge |\vec{u} + \vec{v}|$

Найдем сумму векторов $\vec{u} + \vec{v}$ и ее длину:

$\vec{u} + \vec{v} = (x+y, 2y+2x) = (x+y, 2(x+y))$

$|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{(x+y)^2 + (2(x+y))^2} = \sqrt{(x+y)^2 + 4(x+y)^2} = \sqrt{5(x+y)^2} = |x+y|\sqrt{5}$

Из условия известно, что $x+y=2$. Подставим это значение:

$|\vec{u} + \vec{v}| = |2|\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

Мы доказали, что $\sqrt{x^2 + 4y^2} + \sqrt{y^2 + 4x^2} \ge 2\sqrt{5}$.

Теперь сравним полученную нижнюю оценку $2\sqrt{5}$ с числом $3\sqrt{2}$ из условия. Для этого возведем оба положительных числа в квадрат:

$(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

$(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

Так как $20 > 18$, то $2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}$.

Следовательно, мы показали, что $\sqrt{x^2 + 4y^2} + \sqrt{y^2 + 4x^2} \ge 2\sqrt{5}$, а так как $2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}$, то исходное неравенство тем более верно.

Ответ: Неравенство доказано.