Номер 13, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 13, страница 23.

Условие.

Самостоятельная работа № 13

Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения

Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + xy - 3y = -1 \\ 4x - y = 3 \end{cases}$

2) $\begin{cases} (x - 2)(y - 1) = 0 \\ 2x^2 + y^2 + xy = 7 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + 2xy = -1 \\ 4xy + 9y^2 = 5 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^3y^3 + x^2y^4 = 12 \\ x^4y^2 + x^3y^3 = 24 \end{cases}$

23

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + xy - 3y = -1 \\ 4x - y = 3 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 4x - 3$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 + x(4x - 3) - 3(4x - 3) = -1$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$x^2 + 4x^2 - 3x - 12x + 9 = -1$

$5x^2 - 15x + 9 + 1 = 0$

$5x^2 - 15x + 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя выражение $y = 4x - 3$.

При $x_1 = 1$:

$y_1 = 4(1) - 3 = 1$

Первое решение: $(1, 1)$.

При $x_2 = 2$:

$y_2 = 4(2) - 3 = 8 - 3 = 5$

Второе решение: $(2, 5)$.

Ответ: $(1, 1), (2, 5)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x - 2)(y - 1) = 0 \\ 2x^2 + y^2 + xy = 7 \end{cases} $

Из первого уравнения следует, что либо $x - 2 = 0$, либо $y - 1 = 0$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Подставим $x = 2$ во второе уравнение системы:

$2(2)^2 + y^2 + (2)y = 7$

$2 \cdot 4 + y^2 + 2y = 7$

$8 + y^2 + 2y = 7$

$y^2 + 2y + 1 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(y + 1)^2 = 0$

Отсюда $y = -1$.

Получаем первое решение: $(2, -1)$.

Случай 2: $y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1$.

Подставим $y = 1$ во второе уравнение системы:

$2x^2 + (1)^2 + x(1) = 7$

$2x^2 + 1 + x = 7$

$2x^2 + x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

Получаем еще два решения: $(\frac{3}{2}, 1)$ и $(-2, 1)$.

Ответ: $(2, -1), (\frac{3}{2}, 1), (-2, 1)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 2xy = -1 \\ 4xy + 9y^2 = 5 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 5, чтобы при сложении уравнений избавиться от свободных членов:

$ \begin{cases} 5(x^2 + 2xy) = 5(-1) \\ 4xy + 9y^2 = 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5x^2 + 10xy = -5 \\ 4xy + 9y^2 = 5 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(5x^2 + 10xy) + (4xy + 9y^2) = -5 + 5$

$5x^2 + 14xy + 9y^2 = 0$

Получили однородное уравнение. Предположим, что $y \neq 0$, и разделим уравнение на $y^2$:

$5(\frac{x}{y})^2 + 14(\frac{x}{y}) + 9 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$5t^2 + 14t + 9 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$:

$D = 14^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 196 - 180 = 16 = 4^2$

$t_1 = \frac{-14 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$

$t_2 = \frac{-14 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{-18}{10} = -\frac{9}{5}$

Возвращаемся к замене и рассматриваем два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = -1 \Rightarrow x = -y$.

Подставим $x = -y$ в первое исходное уравнение:

$(-y)^2 + 2(-y)y = -1 \Rightarrow y^2 - 2y^2 = -1 \Rightarrow -y^2 = -1 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = -1$. Решение: $(-1, 1)$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 1$. Решение: $(1, -1)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -\frac{9}{5} \Rightarrow x = -\frac{9}{5}y$.

Подставим $x = -\frac{9}{5}y$ в первое исходное уравнение:

$(-\frac{9}{5}y)^2 + 2(-\frac{9}{5}y)y = -1 \Rightarrow \frac{81}{25}y^2 - \frac{18}{5}y^2 = -1$

Умножим на 25: $81y^2 - 90y^2 = -25 \Rightarrow -9y^2 = -25 \Rightarrow y^2 = \frac{25}{9} \Rightarrow y = \pm \frac{5}{3}$

Если $y_3 = \frac{5}{3}$, то $x_3 = -\frac{9}{5} \cdot \frac{5}{3} = -3$. Решение: $(-3, \frac{5}{3})$.

Если $y_4 = -\frac{5}{3}$, то $x_4 = -\frac{9}{5} \cdot (-\frac{5}{3}) = 3$. Решение: $(3, -\frac{5}{3})$.

Ответ: $(-1, 1), (1, -1), (-3, \frac{5}{3}), (3, -\frac{5}{3})$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3y^3 + x^2y^4 = 12 \\ x^4y^2 + x^3y^3 = 24 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$ \begin{cases} x^2y^3(x + y) = 12 \\ x^3y^2(x + y) = 24 \end{cases} $

Заметим, что $x \neq 0$, $y \neq 0$ и $x+y \neq 0$. Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{x^3y^2(x + y)}{x^2y^3(x + y)} = \frac{24}{12}$

Сократив дробь, получаем:

$\frac{x}{y} = 2 \Rightarrow x = 2y$

Теперь подставим выражение $x = 2y$ в первое преобразованное уравнение $x^2y^3(x + y) = 12$:

$(2y)^2y^3(2y + y) = 12$

$4y^2 \cdot y^3 \cdot (3y) = 12$

$12y^6 = 12$

$y^6 = 1$

Это уравнение имеет два действительных корня: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $x$, используя соотношение $x = 2y$.

При $y_1 = 1$:

$x_1 = 2(1) = 2$. Первое решение: $(2, 1)$.

При $y_2 = -1$:

$x_2 = 2(-1) = -2$. Второе решение: $(-2, -1)$.

Ответ: $(2, 1), (-2, -1)$.