Номер 8, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 8, страница 21.

Условие.

Самостоятельная работа № 8

Решение квадратных неравенств

1. Решите неравенство:

1) $x^2 + 2x - 35 < 0$

2) $-5x^2 + 2x - 1 > 0$

3) $4x^2 - 12x + 9 > 0$

2. Найдите область определения функции

$y = \frac{4x - 6}{\sqrt{x^2 + 2x - 48}} + \sqrt{20 - 2x}$

3. Решите неравенство

$|x^2 - 6| > x + 6$

4. При каких значениях параметра $a$ неравенство $ax^2 + 5ax + 4a + 3 < 0$ не имеет решений?

Решение.

1.

1) Решим неравенство $x^2 + 2x - 35 < 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 35 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-35$. Корни уравнения: $x_1 = -7$ и $x_2 = 5$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 35$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции меньше нуля на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-7 < x < 5$.

Ответ: $x \in (-7; 5)$.

2) Решим неравенство $-5x^2 + 2x - 1 > 0$.

Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный: $5x^2 - 2x + 1 < 0$.

Рассмотрим функцию $y = 5x^2 - 2x + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=5 > 0$).

Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 - 20 = -16$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положительный ($a > 0$), парабола полностью расположена выше оси Ox и принимает только положительные значения. Таким образом, неравенство $5x^2 - 2x + 1 < 0$ не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

3) Решим неравенство $4x^2 - 12x + 9 > 0$.

Левая часть неравенства является полным квадратом: $4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$.

Неравенство принимает вид: $(2x - 3)^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(2x - 3)^2 \geq 0$ при любом $x$.

Нам нужно строгое неравенство, поэтому мы должны исключить случай, когда выражение равно нулю: $(2x - 3)^2 = 0$.

$2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1,5$.

Таким образом, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x = 1,5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1,5) \cup (1,5; +\infty)$.

2.

Найдем область определения функции $y = \frac{4x - 6}{\sqrt{x^2 + 2x - 48}} + \sqrt{20 - 2x}$.

Область определения функции задается системой из двух условий:

1. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $x^2 + 2x - 48 > 0$.

2. Выражение под корнем во втором слагаемом должно быть неотрицательным: $20 - 2x \geq 0$.

Решим первое неравенство: $x^2 + 2x - 48 > 0$.

Корни уравнения $x^2 + 2x - 48 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -8, x_2 = 6$.

Парабола $y=x^2 + 2x - 48$ имеет ветви вверх, поэтому она положительна вне интервала между корнями: $x < -8$ или $x > 6$. Решение: $x \in (-\infty; -8) \cup (6; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $20 - 2x \geq 0$.

$20 \geq 2x \Rightarrow 10 \geq x \Rightarrow x \leq 10$. Решение: $x \in (-\infty; 10]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$(-\infty; -8) \cup (6; +\infty) \cap (-\infty; 10]$.

Пересечение дает нам два интервала: $(-\infty; -8)$ и $(6; 10]$.

Объединяя их, получаем область определения функции.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -8) \cup (6; 10]$.

3.

Решим неравенство $|x^2 - 6| > x + 6$.

Неравенство вида $|A| > B$ равносильно совокупности двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.

1) $x^2 - 6 > x + 6$

$x^2 - x - 12 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 4, x_2 = -3$.

Парабола $y = x^2 - x - 12$ направлена ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x < -3$ или $x > 4$.

Решение: $x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$.

2) $x^2 - 6 < -(x + 6)$

$x^2 - 6 < -x - 6$

$x^2 + x < 0$

$x(x + 1) < 0$

Корни уравнения $x(x+1) = 0$: $x_1 = 0, x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 + x$ направлена ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $-1 < x < 0$.

Решение: $x \in (-1; 0)$.

Общим решением исходного неравенства является объединение решений, полученных в пунктах 1) и 2).

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 0) \cup (4; +\infty)$.

4.

Найдем значения параметра $a$, при которых неравенство $ax^2 + 5ax + 4a + 3 < 0$ не имеет решений.

Это эквивалентно тому, что неравенство $ax^2 + 5ax + 4a + 3 \geq 0$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$.

Неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 + 5 \cdot 0 \cdot x + 4 \cdot 0 + 3 \geq 0$, то есть $3 \geq 0$.

Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом $x$. Следовательно, $a=0$ является одним из искомых значений.

Случай 2: $a \neq 0$.

В этом случае выражение является квадратным трехчленом. Чтобы парабола $y = ax^2 + 5ax + 4a + 3$ была всегда неотрицательна, необходимо выполнение двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вверх: $a > 0$.

2. Парабола не должна пересекать ось Ox более чем в одной точке (то есть иметь не более одного корня), что означает, что дискриминант должен быть неположительным: $D \leq 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (5a)^2 - 4 \cdot a \cdot (4a + 3) = 25a^2 - 16a^2 - 12a = 9a^2 - 12a$.

Решим неравенство $D \leq 0$:

$9a^2 - 12a \leq 0$

$3a(3a - 4) \leq 0$

Корни выражения $3a(3a - 4)$ равны $a_1 = 0$ и $a_2 = 4/3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $0 \leq a \leq 4/3$.

Теперь объединим условия для случая 2: $a > 0$ и $0 \leq a \leq 4/3$. Пересечением этих условий является интервал $0 < a \leq 4/3$.

Итоговое решение — это объединение результатов из обоих случаев: $\{0\} \cup (0; 4/3]$.

Ответ: $a \in [0; 4/3]$.