Номер 5, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 5, страница 20.

Условие.

Самостоятельная работа № 5

Построение графиков функций $y = f(x) + b$

и $y = f(x + a)$

1. Каковы координаты вершины параболы:

1) $y = x^2 - 10$

2) $y = (x - 9)^2$

3) $y = (x + 14)^2 - 13$?

2. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x} + 2$

2) $y = 2 + \sqrt{x - 1}$.

3. Постройте график функции $y = \frac{3x}{x + 4}$.

4. Сколько корней имеет уравнение $|x - 3| = a - x^2$ в зависимости от значения параметра $a$?

Решение.

1.

1) Уравнение параболы в общем виде с вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $y = a(x - h)^2 + k$. Для функции $y = x^2 - 10$ его можно записать как $y = (x - 0)^2 - 10$. Отсюда видно, что координаты вершины: $(0, -10)$.
Ответ: $(0, -10)$.

2) Для функции $y = (x - 9)^2$ уравнение можно записать как $y = (x - 9)^2 + 0$. Координаты вершины: $(9, 0)$.
Ответ: $(9, 0)$.

3) Для функции $y = (x + 14)^2 - 13$ уравнение можно записать как $y = (x - (-14))^2 - 13$. Координаты вершины: $(-14, -13)$.
Ответ: $(-14, -13)$.

2.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$.

1) График функции $y = \sqrt{x + 2}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ сдвигом на 2 единицы влево по оси Ox. Начальная точка графика — $(-2, 0)$.
Ответ: График $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 2 единицы влево.

2) График функции $y = 2 + \sqrt{x - 1}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy. Начальная точка графика — $(1, 2)$.
Ответ: График $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу вправо и 2 единицы вверх.

3.

Чтобы построить график функции $y = \frac{3x}{x+4}$, преобразуем ее, выделив целую часть: $y = \frac{3(x+4) - 12}{x+4} = \frac{3(x+4)}{x+4} - \frac{12}{x+4} = 3 - \frac{12}{x+4}$. Это гипербола, полученная из графика $y = -\frac{12}{x}$ сдвигом на 4 единицы влево по оси Ox и на 3 единицы вверх по оси Oy. Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x+4=0 \Rightarrow x=-4$.
• Горизонтальная асимптота: $y=3$.

График проходит через начало координат, так как при $x=0$, $y=0$. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях относительно точки пересечения асимптот $(-4, 3)$.
Ответ: График функции — гипербола с асимптотами $x=-4$ и $y=3$, проходящая через точку $(0,0)$.

4.

Решим задачу графически. Перепишем уравнение в виде $a = x^2 + |x - 3|$. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y(x) = x^2 + |x - 3|$ и горизонтальной прямой $y = a$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. При $x \ge 3$, $|x-3| = x-3$, и функция принимает вид $y = x^2 + x - 3$.
2. При $x < 3$, $|x-3| = -(x-3) = -x+3$, и функция принимает вид $y = x^2 - x + 3$.

Таким образом, функция задается кусочно: $y(x) = \begin{cases} x^2 - x + 3, & \text{при } x < 3 \\ x^2 + x - 3, & \text{при } x \ge 3 \end{cases}$. Найдем наименьшее значение функции. На интервале $x < 3$ функция представляет собой параболу $y = x^2 - x + 3$, ветви которой направлены вверх. Координаты ее вершины: $x_v = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$ $y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 3 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{12}{4} = \frac{11}{4} = 2.75$. Так как $x_v = 1/2$ принадлежит интервалу $x < 3$, эта точка является точкой глобального минимума для всей функции $y(x)$. На интервале $x \ge 3$ функция $y = x^2 + x - 3$ монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение функции $y(x)$ равно $11/4$. Теперь проанализируем количество пересечений прямой $y=a$ с графиком $y(x)$ в зависимости от значения $a$:

• Если $a < \frac{11}{4}$, прямая $y=a$ находится полностью ниже графика, и точек пересечения нет (0 корней).
• Если $a = \frac{11}{4}$, прямая касается графика в его вершине, имеется одна точка пересечения (1 корень).
• Если $a > \frac{11}{4}$, прямая пересекает обе возрастающие ветви графика, имеется две точки пересечения (2 корня).

Ответ:

• при $a < \frac{11}{4}$ корней нет;
• при $a = \frac{11}{4}$ один корень;
• при $a > \frac{11}{4}$ два корня.