Номер 2, страница 18 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 2, страница 18.

Условие.

Самостоятельная работа № 2

Возрастание и убывание функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции

1. На рисунке 3 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;

4) $\min_R f(x)$; $\max_R f(x)$;

5) $\min_{[-2;0]} f(x)$; $\max_{[-2;0]} f(x)$.

Рис. 3

2. Докажите, что функция $f(x) = \frac{5}{x+2}$ убывает на промежутке $(-2; +\infty)$.

3. Найдите $\min_{D(f)} f(x)$ и $\max_{D(f)} f(x)$, если $f(x) = 4 - \sqrt{4 - x^2}$.

4. Убывающая функция $f$ определена на множестве $R$. Возрастающей или убывающей является функция $f(g(x))$, если $g(x) = 3x - 1$?

5. Решите уравнение $x^3 + 4\sqrt{2x + 11} = 11$.

Решение.

1. На рисунке 3 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:

1) нули функции;
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Графически это точки пересечения графика с осью абсцисс (Ox).
Из графика видно, что он пересекает ось Ox в точках $x = -2$ и $x = 4$.
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 4$.

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
Значения функции положительны ($f(x) > 0$), когда график функции находится выше оси абсцисс Ox.
Судя по графику, это происходит на двух промежутках: левее точки $x = -2$ и правее точки $x = 4$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
Функция убывает, когда с увеличением $x$ значения $f(x)$ уменьшаются (график идет вниз). Функция возрастает, когда с увеличением $x$ значения $f(x)$ увеличиваются (график идет вверх).
Точкой-переломом является вершина параболы, которая находится в точке с абсциссой $x = 1$.
Функция убывает на промежутке от $-\infty$ до $1$.
Функция возрастает на промежутке от $1$ до $+\infty$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

4) $\min_{R} f(x); \max_{R} f(x)$;
Наименьшее значение функции на множестве всех действительных чисел R — это ордината самой низкой точки графика. Это вершина параболы, её ордината равна $-9$.
Наибольшего значения у функции нет, так как ветви параболы уходят вверх в бесконечность.
Ответ: $\min_{R} f(x) = -9$, $\max_{R} f(x)$ не существует.

5) $\min_{[-2; 0]} f(x); \max_{[-2; 0]} f(x)$.
Рассмотрим поведение функции на отрезке $[-2; 0]$. Вершина параболы ($x=1$) не входит в этот отрезок. На всем отрезке $[-2; 0]$ функция является убывающей (как мы выяснили в пункте 3).
Следовательно, наибольшее значение на этом отрезке будет в его левой точке ($x=-2$), а наименьшее — в правой ($x=0$).
Из графика находим: $f(-2) = 0$, $f(0) = -8$.
Ответ: $\min_{[-2; 0]} f(x) = -8$, $\max_{[-2; 0]} f(x) = 0$.

2. Докажите, что функция $f(x) = \frac{5}{x+2}$ убывает на промежутке $(-2; +\infty)$.
Чтобы доказать, что функция убывает на заданном промежутке, нужно показать, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
Возьмём любые $x_1, x_2 \in (-2; +\infty)$ такие, что $x_1 < x_2$.
Рассмотрим разность $f(x_1) - f(x_2)$:
$f(x_1) - f(x_2) = \frac{5}{x_1+2} - \frac{5}{x_2+2} = \frac{5(x_2+2) - 5(x_1+2)}{(x_1+2)(x_2+2)} = \frac{5x_2 + 10 - 5x_1 - 10}{(x_1+2)(x_2+2)} = \frac{5(x_2 - x_1)}{(x_1+2)(x_2+2)}$.
Оценим знак полученного выражения:
1. Так как $x_1 < x_2$, то $x_2 - x_1 > 0$. Значит, числитель $5(x_2 - x_1)$ положителен.
2. Так как $x_1 \in (-2; +\infty)$, то $x_1 > -2$, следовательно $x_1 + 2 > 0$.
3. Так как $x_2 \in (-2; +\infty)$, то $x_2 > -2$, следовательно $x_2 + 2 > 0$.
Знаменатель $(x_1+2)(x_2+2)$ является произведением двух положительных чисел и, следовательно, положителен.
Дробь, у которой числитель и знаменатель положительны, сама положительна. Таким образом, $f(x_1) - f(x_2) > 0$, откуда $f(x_1) > f(x_2)$.
Это доказывает, что функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-2; +\infty)$.
Ответ: Утверждение доказано.

3. Найдите $\min_{D(f)} f(x)$ и $\max_{D(f)} f(x)$, если $f(x) = 4 - \sqrt{4-x^2}$.
Сначала найдем область определения функции $D(f)$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2$.
Таким образом, $D(f) = [-2; 2]$.
Теперь найдем наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке. Функция $f(x)$ представляет собой константу 4, из которой вычитается значение $\sqrt{4-x^2}$.
Значение $f(x)$ будет максимальным, когда вычитаемое $\sqrt{4-x^2}$ будет минимальным. Минимальное значение подкоренного выражения $4-x^2$ равно 0 при $x = \pm2$. Тогда $\sqrt{4-x^2}=0$.
$\max_{D(f)} f(x) = f(\pm 2) = 4 - \sqrt{4 - (\pm 2)^2} = 4 - 0 = 4$.
Значение $f(x)$ будет минимальным, когда вычитаемое $\sqrt{4-x^2}$ будет максимальным. Максимальное значение подкоренного выражения $4-x^2$ достигается при $x=0$ и равно $4$. Тогда $\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4}=2$.
$\min_{D(f)} f(x) = f(0) = 4 - \sqrt{4 - 0^2} = 4 - 2 = 2$.
Ответ: $\min_{D(f)} f(x) = 2$, $\max_{D(f)} f(x) = 4$.

4. Убывающая функция $f$ определена на множестве R. Возрастающей или убывающей является функция $f(g(x))$, если $g(x) = 3x - 1$?
Дано, что функция $f$ является убывающей. Это означает, что для любых $a$ и $b$ из её области определения, если $a < b$, то $f(a) > f(b)$.
Функция $g(x) = 3x - 1$ является линейной с положительным угловым коэффициентом $k=3$. Следовательно, функция $g(x)$ является возрастающей на R. Это означает, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется $g(x_1) < g(x_2)$.
Рассмотрим сложную функцию $h(x) = f(g(x))$. Возьмём два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$.
1. Так как $g(x)$ возрастающая, то из $x_1 < x_2$ следует $g(x_1) < g(x_2)$.
2. Обозначим $a = g(x_1)$ и $b = g(x_2)$. Мы получили, что $a < b$.
3. Так как функция $f$ убывающая, то из $a < b$ следует $f(a) > f(b)$.
4. Подставляя обратно, получаем $f(g(x_1)) > f(g(x_2))$, то есть $h(x_1) > h(x_2)$.
Мы показали, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется $h(x_1) > h(x_2)$, что по определению означает, что функция $h(x) = f(g(x))$ является убывающей.
Ответ: Функция $f(g(x))$ является убывающей.

5. Решите уравнение $x^3 + 4\sqrt{2x+11} = 11$.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 4\sqrt{2x+11}$. Уравнение принимает вид $f(x) = 11$.
Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2x+11 \ge 0 \implies 2x \ge -11 \implies x \ge -5.5$.
Исследуем функцию на монотонность. Она представляет собой сумму двух функций: $h(x) = x^3$ и $p(x) = 4\sqrt{2x+11}$.
Функция $h(x) = x^3$ является возрастающей на всей числовой оси.
Функция $p(x) = 4\sqrt{2x+11}$ также является возрастающей на своей области определения, так как является композицией двух возрастающих функций ($y=\sqrt{t}$ и $t=2x+11$).
Сумма двух возрастающих функций есть функция возрастающая. Следовательно, $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[-5.5; +\infty)$.
Строго монотонная функция каждое своё значение принимает только один раз. Это означает, что уравнение $f(x) = 11$ может иметь не более одного корня.
Попробуем найти этот корень методом подбора. Проверим целые значения $x$.
Пусть $x = -1$. Подставим в уравнение:
$(-1)^3 + 4\sqrt{2(-1)+11} = -1 + 4\sqrt{-2+11} = -1 + 4\sqrt{9} = -1 + 4 \cdot 3 = -1 + 12 = 11$.
$11 = 11$.
Таким образом, $x = -1$ является корнем уравнения. Так как корень может быть только один, других решений нет.
Ответ: $x = -1$.