Номер 33, страница 17 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 33, страница 17.

Условие.

Самостоятельная работа № 33

Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии

1. Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана формулой $n$-го члена $b_n = 3 \cdot 2^{n+1}$. Найдите сумму шести первых членов прогрессии.

2. Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии равна 2 046. Найдите $n$, если первый член прогрессии равен 6, а знаменатель прогрессии равен 4.

3. Для любого натурального $n$ сумму $n$ первых членов некоторой последовательности можно вычислить по формуле $S_n = 2(5^n - 1)$. Докажите, что данная последовательность является геометрической прогрессией.

Решение.

1.

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана формулой n-го члена $b_n = 3 \cdot 2^{n+1}$. Чтобы найти сумму шести первых членов прогрессии, сначала найдем первый член $b_1$ и знаменатель прогрессии $q$.

Найдем первый член, подставив $n=1$ в формулу:
$b_1 = 3 \cdot 2^{1+1} = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$.

Найдем второй член, подставив $n=2$ в формулу:
$b_2 = 3 \cdot 2^{2+1} = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$.

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$ как отношение второго члена к первому:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{12} = 2$.

Сумму $n$ первых членов геометрической прогрессии вычисляем по формуле:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$.

Подставим наши значения $b_1 = 12$, $q = 2$ и $n = 6$:
$S_6 = \frac{12(2^6 - 1)}{2-1} = \frac{12(64 - 1)}{1} = 12 \cdot 63 = 756$.

Ответ: 756

2.

Дана сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии $S_n = 2046$, первый член $b_1 = 6$ и знаменатель $q = 4$. Нужно найти число членов $n$.

Воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$.

Подставим известные значения в формулу:
$2046 = \frac{6(4^n - 1)}{4-1}$.

Решим полученное уравнение относительно $n$:
$2046 = \frac{6(4^n - 1)}{3}$
$2046 = 2(4^n - 1)$
Разделим обе части уравнения на 2:
$1023 = 4^n - 1$
$1024 = 4^n$.

Чтобы найти $n$, представим 1024 как степень числа 4:
$4^1 = 4$
$4^2 = 16$
$4^3 = 64$
$4^4 = 256$
$4^5 = 1024$.
Следовательно, $n=5$.

Ответ: 5

3.

Сумма $n$ первых членов последовательности задана формулой $S_n = 2(5^n - 1)$. Чтобы доказать, что эта последовательность является геометрической прогрессией, нужно показать, что отношение любого ее члена к предыдущему является постоянной величиной (знаменателем прогрессии $q$).

Найдем формулу n-го члена последовательности $(b_n)$. Первый член последовательности $b_1$ равен $S_1$:
$b_1 = S_1 = 2(5^1 - 1) = 2(4) = 8$.

Для $n \ge 2$ n-й член последовательности можно найти по формуле $b_n = S_n - S_{n-1}$:
$S_{n-1} = 2(5^{n-1} - 1) = 2 \cdot 5^{n-1} - 2$.
$b_n = (2(5^n - 1)) - (2(5^{n-1} - 1)) = (2 \cdot 5^n - 2) - (2 \cdot 5^{n-1} - 2)$.
$b_n = 2 \cdot 5^n - 2 - 2 \cdot 5^{n-1} + 2 = 2 \cdot 5^n - 2 \cdot 5^{n-1}$.

Вынесем общий множитель $2 \cdot 5^{n-1}$:
$b_n = 2 \cdot 5^{n-1} \cdot 5 - 2 \cdot 5^{n-1} = 2 \cdot 5^{n-1}(5 - 1) = 2 \cdot 5^{n-1} \cdot 4 = 8 \cdot 5^{n-1}$.

Таким образом, формула n-го члена последовательности: $b_n = 8 \cdot 5^{n-1}$. Эта формула соответствует стандартной формуле n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ с первым членом $b_1 = 8$ и знаменателем $q = 5$.

Для строгого доказательства найдем отношение $\frac{b_n}{b_{n-1}}$:
$\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{8 \cdot 5^{n-1}}{8 \cdot 5^{(n-1)-1}} = \frac{5^{n-1}}{5^{n-2}} = 5^{(n-1)-(n-2)} = 5^1 = 5$.

Так как отношение любого члена последовательности (начиная со второго) к предыдущему члену постоянно и равно 5, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: Доказано.