Номер 32, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 32, страница 16.

Условие.

Самостоятельная работа № 32

Геометрическая прогрессия

1. Между числами 16 и 81 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. Запишите полученную прогрессию.

2. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_{10} = 9b_8$ и $b_3 + b_6 = 168$.

3. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 90. Если из этих чисел вычесть соответственно 7, 18 и 2, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Решение.

1.

Пусть искомая геометрическая прогрессия $(b_n)$ состоит из 5 членов, где первый член $b_1 = 16$ и пятый член $b_5 = 81$. Нам нужно найти второй, третий и четвертый члены прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ - знаменатель прогрессии.

Для пятого члена прогрессии имеем:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Подставим известные значения:

$81 = 16 \cdot q^4$

Отсюда найдем знаменатель $q$:

$q^4 = \frac{81}{16}$

$q = \pm \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \pm \frac{3}{2}$

Получили два возможных значения для знаменателя прогрессии, поэтому существует две такие прогрессии.

Случай 1: $q = \frac{3}{2}$

Найдем три числа, которые нужно вставить между 16 и 81:

$b_2 = b_1 \cdot q = 16 \cdot \frac{3}{2} = 24$

$b_3 = b_2 \cdot q = 24 \cdot \frac{3}{2} = 36$

$b_4 = b_3 \cdot q = 36 \cdot \frac{3}{2} = 54$

Проверим пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 54 \cdot \frac{3}{2} = 81$. Верно.

Полученная прогрессия: 16, 24, 36, 54, 81.

Случай 2: $q = -\frac{3}{2}$

Найдем три числа, которые нужно вставить между 16 и 81:

$b_2 = b_1 \cdot q = 16 \cdot (-\frac{3}{2}) = -24$

$b_3 = b_2 \cdot q = -24 \cdot (-\frac{3}{2}) = 36$

$b_4 = b_3 \cdot q = 36 \cdot (-\frac{3}{2}) = -54$

Проверим пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = -54 \cdot (-\frac{3}{2}) = 81$. Верно.

Полученная прогрессия: 16, -24, 36, -54, 81.

Ответ: Существуют две такие прогрессии: 16, 24, 36, 54, 81 и 16, -24, 36, -54, 81.

2.

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

Известно, что $b_{10} = 9b_8$ и $b_3 + b_6 = 168$.

Используем формулу n-го члена $b_n = b_1 q^{n-1}$.

Из первого условия $b_{10} = 9b_8$ найдем знаменатель $q$:

$b_1 q^{10-1} = 9 \cdot (b_1 q^{8-1})$

$b_1 q^9 = 9 b_1 q^7$

Предполагая, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$, разделим обе части на $b_1 q^7$:

$q^2 = 9$

$q = \pm 3$

Теперь используем второе условие $b_3 + b_6 = 168$ для нахождения $b_1$.

$b_1 q^{3-1} + b_1 q^{6-1} = 168$

$b_1 q^2 + b_1 q^5 = 168$

$b_1(q^2 + q^5) = 168$

Рассмотрим два возможных случая для $q$.

Случай 1: $q = 3$

Подставим $q=3$ в уравнение:

$b_1(3^2 + 3^5) = 168$

$b_1(9 + 243) = 168$

$b_1(252) = 168$

$b_1 = \frac{168}{252} = \frac{2 \cdot 84}{3 \cdot 84} = \frac{2}{3}$

Случай 2: $q = -3$

Подставим $q=-3$ в уравнение:

$b_1((-3)^2 + (-3)^5) = 168$

$b_1(9 - 243) = 168$

$b_1(-234) = 168$

$b_1 = -\frac{168}{234} = -\frac{28 \cdot 6}{39 \cdot 6} = -\frac{28}{39}$

Таким образом, есть два возможных набора значений.

Ответ: Первый член $b_1 = \frac{2}{3}$ и знаменатель $q=3$, или первый член $b_1 = -\frac{28}{39}$ и знаменатель $q=-3$.

3.

Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, равны $a_1, a_2, a_3$. Удобно представить их в виде $a-d, a, a+d$, где $a$ - средний член, а $d$ - разность прогрессии.

По условию, их сумма равна 90:

$(a-d) + a + (a+d) = 90$

$3a = 90$

$a = 30$

Значит, исходные числа: $30-d, 30, 30+d$.

Далее, из этих чисел вычитают соответственно 7, 18 и 2. Получаются новые числа:

Первое число: $(30-d) - 7 = 23-d$

Второе число: $30 - 18 = 12$

Третье число: $(30+d) - 2 = 28+d$

Эти новые числа образуют геометрическую прогрессию. Основное свойство геометрической прогрессии: квадрат среднего члена равен произведению его соседей.

$12^2 = (23-d)(28+d)$

$144 = 23 \cdot 28 + 23d - 28d - d^2$

$144 = 644 - 5d - d^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$d^2 + 5d + 144 - 644 = 0$

$d^2 + 5d - 500 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-500) = 25 + 2000 = 2025 = 45^2$

Найдем корни:

$d_1 = \frac{-5 + 45}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$d_2 = \frac{-5 - 45}{2} = \frac{-50}{2} = -25$

Найдем исходные числа для каждого значения $d$.

Случай 1: $d = 20$

Исходные числа: $30-20, 30, 30+20$, то есть 10, 30, 50.

Проверка: Сумма $10+30+50=90$. Новые числа: $10-7=3, 30-18=12, 50-2=48$. Последовательность 3, 12, 48 является геометрической прогрессией со знаменателем 4.

Случай 2: $d = -25$

Исходные числа: $30-(-25), 30, 30+(-25)$, то есть 55, 30, 5.

Проверка: Сумма $55+30+5=90$. Новые числа: $55-7=48, 30-18=12, 5-2=3$. Последовательность 48, 12, 3 является геометрической прогрессией со знаменателем $\frac{1}{4}$.

Оба набора чисел удовлетворяют условию задачи.

Ответ: Исходные числа 10, 30, 50 или 55, 30, 5.