Номер 1, страница 18 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 1, страница 18.

Условие.

Самостоятельная работа № 1

Функция

1. Найдите область определения функции

$f(x) = \sqrt{3x - 2} + \frac{1}{x^2 - x - 2}$

2. Найдите область значений функции:

1) $y = 5 - \frac{x^7}{x}$;

2) $y = \frac{x - 1}{x^2}$.

3. Даны функции $f(x) = 3x + 1$ и $g(x) = x^2 - 3$. Задайте формулой функцию: 1) $g(2x)$; 2) $f(g(x))$ .

4. Постройте график функции $y = \frac{6 - 2x}{x^2 - 3x}$.

5. Известно, что $D(f) = [-1; 6]$. Найдите область определения функции $y = f(x - 5)$.

Решение.

1.

Область определения функции $f(x) = \sqrt{3x - 2} + \frac{1}{x^2 - x - 2}$ находится из двух условий:

1) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3x - 2 \ge 0$.

2) Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - x - 2 \neq 0$.

Решим первое неравенство:

$3x \ge 2$

$x \ge \frac{2}{3}$

Решим второе условие. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ с помощью теоремы Виета или через дискриминант.

Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Следовательно, знаменатель обращается в ноль при $x=2$ и $x=-1$. Эти значения нужно исключить.

Итак, мы имеем систему условий:

$\begin{cases} x \ge \frac{2}{3} \\ x \neq 2 \\ x \neq -1 \end{cases}$

Условие $x \neq -1$ уже выполняется, так как $x \ge \frac{2}{3}$.

Объединяя условия, получаем, что $x$ может принимать любые значения из промежутка $[\frac{2}{3}; +\infty)$, кроме $x=2$.

В виде объединения промежутков это записывается как $[\frac{2}{3}; 2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = [\frac{2}{3}; 2) \cup (2; +\infty)$.

2.

1) $y = 5 - \frac{x^7}{x}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.

При $x \neq 0$ функцию можно упростить:

$y = 5 - x^6$

Рассмотрим выражение $x^6$. Поскольку $x \neq 0$, $x^6$ всегда будет строго положительным числом, то есть $x^6 > 0$.

Умножим неравенство на $-1$, знак неравенства изменится:

$-x^6 < 0$

Теперь прибавим 5 к обеим частям неравенства:

$5 - x^6 < 5$

Следовательно, $y < 5$. Область значений функции — все числа, меньшие 5.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 5)$.

2) $y = \frac{x - 1}{x^2}$

Область определения функции: $x \neq 0$.

Чтобы найти область значений, выразим $x$ через $y$. Пусть $y=a$ — некоторое значение из области значений. Тогда уравнение $a = \frac{x - 1}{x^2}$ должно иметь хотя бы одно решение относительно $x$.

$ax^2 = x - 1$

$ax^2 - x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$.

Если $a=0$, уравнение становится линейным: $-x + 1 = 0$, откуда $x=1$. Решение есть, значит $a=0$ входит в область значений.

Если $a \neq 0$, уравнение является квадратным и имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).

$D = (-1)^2 - 4 \cdot a \cdot 1 = 1 - 4a$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$1 - 4a \ge 0$

$1 \ge 4a$

$a \le \frac{1}{4}$

Объединяя случай $a=0$ с результатом $a \le \frac{1}{4}$, получаем, что функция может принимать любые значения, не превышающие $\frac{1}{4}$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; \frac{1}{4}]$.

3.

Даны функции $f(x) = 3x + 1$ и $g(x) = x^2 - 3$.

1) g(2x)

Чтобы найти $g(2x)$, нужно в формулу для $g(x)$ вместо $x$ подставить $2x$:

$g(2x) = (2x)^2 - 3 = 4x^2 - 3$.

Ответ: $g(2x) = 4x^2 - 3$.

2) f(g(x))

Чтобы найти $f(g(x))$, нужно в формулу для $f(x)$ вместо $x$ подставить выражение для $g(x)$:

$f(g(x)) = f(x^2 - 3) = 3(x^2 - 3) + 1 = 3x^2 - 9 + 1 = 3x^2 - 8$.

Ответ: $f(g(x)) = 3x^2 - 8$.

4.

Построим график функции $y = \frac{6 - 2x}{x^2 - 3x}$.

1. Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 - 3x \neq 0 \implies x(x - 3) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 3$.

2. Упростим выражение. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

$y = \frac{2(3 - x)}{x(x - 3)} = \frac{-2(x - 3)}{x(x - 3)}$

Поскольку $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x - 3)$:

$y = -\frac{2}{x}$

3. Анализ графика. График исходной функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{2}{x}$ во всех точках, кроме точки, где $x=3$.

График $y = -\frac{2}{x}$ — это гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Асимптоты гиперболы — оси координат ($x=0$ и $y=0$).

4. Найдём "выколотую" точку. В точке $x=3$ исходная функция не определена. Чтобы найти координаты этой "дырки" на графике, подставим $x=3$ в упрощённую формулу:

$y = -\frac{2}{3}$

Таким образом, на графике будет выколотая точка с координатами $(3; -\frac{2}{3})$.

Построение:

- Строим гиперболу $y = -\frac{2}{x}$. Для этого можно взять несколько точек, например: $(1, -2)$, $(2, -1)$, $(-1, 2)$, $(-2, 1)$.

- На полученной гиперболе находим точку с абсциссой $x=3$ и ординатой $y = -\frac{2}{3}$ и отмечаем её пустым кружочком (выкалываем).

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -\frac{2}{x}$ с выколотой точкой $(3; -\frac{2}{3})$.

5.

Известно, что область определения функции $f$ есть отрезок $D(f) = [-1; 6]$. Это означает, что аргумент функции $f$ может принимать значения только из этого отрезка.

В функции $y = f(x - 5)$ аргументом является выражение $(x - 5)$.

Следовательно, для нахождения области определения функции $y$ нужно, чтобы её аргумент $(x - 5)$ принадлежал области определения функции $f$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$-1 \le x - 5 \le 6$

Чтобы найти $x$, прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$-1 + 5 \le x - 5 + 5 \le 6 + 5$

$4 \le x \le 11$

Таким образом, область определения функции $y = f(x - 5)$ — это отрезок $[4; 11]$.

Ответ: $D(y) = [4; 11]$.