Номер 31, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 31, страница 16.

Условие.

Самостоятельная работа № 31

Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии

1. Арифметическая прогрессия ($a_n$) задана формулой $n$-го члена: $a_n = 2n - 3$. Найдите сумму тридцати шести первых членов прогрессии.

2. Для любого натурального значения $n$ сумму $n$ первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = 4n^2 - 5n$. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

3. Девятнадцатый член арифметической прогрессии равен 16. Найдите сумму тридцати семи первых членов прогрессии.

Решение.

1.

Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена $a_n = 2n - 3$. Чтобы найти сумму тридцати шести первых членов прогрессии ($S_{36}$), воспользуемся формулой суммы $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Сначала найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$ в заданную формулу:

$a_1 = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1$.

Затем найдем тридцать шестой член прогрессии, подставив $n=36$:

$a_{36} = 2 \cdot 36 - 3 = 72 - 3 = 69$.

Теперь подставим найденные значения $a_1 = -1$, $a_{36} = 69$ и $n=36$ в формулу суммы:

$S_{36} = \frac{-1 + 69}{2} \cdot 36 = \frac{68}{2} \cdot 36 = 34 \cdot 36 = 1224$.

Ответ: 1224.

2.

Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии задана формулой $S_n = 4n^2 - 5n$.

Первый член прогрессии $a_1$ равен сумме первого члена, то есть $S_1$. Найдем $S_1$, подставив $n=1$ в формулу:

$a_1 = S_1 = 4 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 = 4 - 5 = -1$.

Сумма двух первых членов $S_2$ равна $a_1 + a_2$. Найдем $S_2$, подставив $n=2$ в формулу:

$S_2 = 4 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 = 4 \cdot 4 - 10 = 16 - 10 = 6$.

Второй член прогрессии $a_2$ можно найти как разность $S_2$ и $S_1$ (или $a_1$):

$a_2 = S_2 - S_1 = 6 - (-1) = 7$.

Разность арифметической прогрессии $d$ — это разница между последующим и предыдущим членами. Найдем ее:

$d = a_2 - a_1 = 7 - (-1) = 8$.

Ответ: первый член равен -1, разность равна 8.

3.

По условию, девятнадцатый член арифметической прогрессии равен 16, то есть $a_{19} = 16$. Требуется найти сумму тридцати семи первых членов прогрессии, $S_{37}$.

Воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

При $n=37$ формула имеет вид:

$S_{37} = \frac{2a_1 + d(37-1)}{2} \cdot 37 = \frac{2a_1 + 36d}{2} \cdot 37$.

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$S_{37} = \frac{2(a_1 + 18d)}{2} \cdot 37 = (a_1 + 18d) \cdot 37$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$.

Для девятнадцатого члена ($n=19$) получаем:

$a_{19} = a_1 + d(19-1) = a_1 + 18d$.

Так как по условию $a_{19} = 16$, то $a_1 + 18d = 16$.

Подставим это значение в выражение для $S_{37}$:

$S_{37} = 16 \cdot 37 = 592$.

Ответ: 592.