Номер 25, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 25, страница 14.

Условие.

Самостоятельная работа № 25

Сочетания

1. Упростите выражение

$\frac{14}{n+10}C_{n+10}^{n+8}$.

2. Решите в натуральных числах уравнение

$A_{x+2}^{2} + C_{x+4}^{x+2} = 78$.

3. В классе есть 14 девочек и 16 мальчиков. Сколькими способами можно сформировать команду из 3 девочек и 4 мальчиков для участия в спортивных соревнованиях?

4. Есть 18 шаров, пронумерованных числами от 1 до 18. Сколькими способами можно составить набор из 7 шаров, если шары с номерами 8 и 12 не могут одновременно входить в набор?

Решение.

1. Упростите выражение $\frac{14}{n+10}C_{n+10}^{n+8}$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и свойством симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Применим свойство симметрии к $C_{n+10}^{n+8}$:
$C_{n+10}^{n+8} = C_{n+10}^{(n+10)-(n+8)} = C_{n+10}^{2}$

Теперь распишем $C_{n+10}^{2}$ по формуле:
$C_{n+10}^{2} = \frac{(n+10)!}{2!(n+10-2)!} = \frac{(n+10)!}{2!(n+8)!} = \frac{(n+10)(n+9)(n+8)!}{2 \cdot (n+8)!} = \frac{(n+10)(n+9)}{2}$

Подставим полученное выражение в исходное:
$\frac{14}{n+10} \cdot C_{n+10}^{n+8} = \frac{14}{n+10} \cdot \frac{(n+10)(n+9)}{2}$

Сократим дробь на $(n+10)$ и на 2:
$\frac{14(n+9)}{2} = 7(n+9) = 7n + 63$

Ответ: $7n + 63$

2. Решите в натуральных числах уравнение $A_{x+2}^2 + C_{x+4}^{x+2} = 78$

Распишем каждый член уравнения, используя формулы для размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Первый член (размещения):
$A_{x+2}^2 = \frac{(x+2)!}{(x+2-2)!} = \frac{(x+2)!}{x!} = (x+2)(x+1) = x^2 + 3x + 2$

Второй член (сочетания):
$C_{x+4}^{x+2} = \frac{(x+4)!}{(x+2)!(x+4-(x+2))!} = \frac{(x+4)!}{(x+2)!2!} = \frac{(x+4)(x+3)}{2} = \frac{x^2 + 7x + 12}{2}$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(x^2 + 3x + 2) + \frac{x^2 + 7x + 12}{2} = 78$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$2(x^2 + 3x + 2) + (x^2 + 7x + 12) = 156$
$2x^2 + 6x + 4 + x^2 + 7x + 12 = 156$

Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 + 13x + 16 = 156$
$3x^2 + 13x - 140 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-140) = 169 + 1680 = 1849 = 43^2$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 43}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 43}{2 \cdot 3} = \frac{-56}{6} = -\frac{28}{3}$

По условию задачи, решение нужно найти в натуральных числах. Из двух корней натуральным является только $x = 5$.

Ответ: 5

3. В классе есть 14 девочек и 16 мальчиков. Сколькими способами можно сформировать команду из 3 девочек и 4 мальчиков для участия в спортивных соревнованиях?

Задача состоит из двух независимых частей: выбор девочек и выбор мальчиков. Поскольку порядок выбора участников внутри группы не важен, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k$.

1. Найдем число способов выбрать 3 девочки из 14:
$C_{14}^3 = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3!11!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 14 \cdot 13 \cdot 2 = 364$ способа.

2. Найдем число способов выбрать 4 мальчика из 16:
$C_{16}^4 = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16!}{4!12!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 5 \cdot 14 \cdot 13 = 1820$ способов.

3. Чтобы найти общее число способов сформировать команду, нужно перемножить число способов выбора девочек и мальчиков (согласно правилу произведения в комбинаторике):
$N = C_{14}^3 \cdot C_{16}^4 = 364 \cdot 1820 = 662480$ способов.

Ответ: 662480

4. Есть 18 шаров, пронумерованных числами от 1 до 18. Сколькими способами можно составить набор из 7 шаров, если шары с номерами 8 и 12 не могут одновременно входить в набор?

Эту задачу удобно решить, используя метод исключения. Сначала найдем общее число способов составить любой набор из 7 шаров, а затем вычтем из него количество "неправильных" наборов, то есть тех, в которых шары 8 и 12 присутствуют одновременно.

1. Общее число способов выбрать 7 шаров из 18 (без ограничений):
$C_{18}^7 = \frac{18!}{7!(18-7)!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 31824$ способа.

2. Теперь найдем число наборов, в которых шары с номерами 8 и 12 присутствуют одновременно. Если мы заранее включили эти два шара в набор, нам остается выбрать еще $7-2=5$ шаров из оставшихся $18-2=16$ шаров.
$C_{16}^5 = \frac{16!}{5!(16-5)!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 4368$ способов.

3. Вычтем число "неправильных" наборов из общего числа наборов, чтобы найти искомое количество способов:
$N = C_{18}^7 - C_{16}^5 = 31824 - 4368 = 27456$ способов.

Ответ: 27456