Номер 3, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 3, страница 19.

Условие.

Самостоятельная работа № 3

Чётные и нечётные функции

1. Функция $f$ чётная. Может ли выполняться равенство $f(6) \cdot f(-6) = -1$?

2. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = \frac{x^6 + 2x^5}{x + 2}$;

2) $y = x^4 + x$;

3) $y = \sqrt{7 - x} + \sqrt{7 + x}$.

3. Известно, что $\min_{[-6; -3]} f(x) = 1$, $\max_{[-6; -3]} f(x) = 4$. Найдите

$\min_{[3; 6]} f(x)$ и $\max_{[3; 6]} f(x)$, если:

1) $f$ — чётная функция;

2) $f$ — нечётная функция.

4. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^4 - ax^2 + a^2 - a - 2 = 0$ имеет три корня?

Решение.

1.

По определению, функция $f$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Подставим это свойство в данное равенство: $f(6) \cdot f(-6) = f(6) \cdot f(6) = (f(6))^2$.
Получаем уравнение $(f(6))^2 = -1$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это равенство не может выполняться для действительных значений функции.

Ответ: Нет, не может.

2.

1) $y = \frac{x^6 + 2x^5}{x + 2}$

Сначала найдём область определения функции $D(y)$. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x+2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$.
Таким образом, $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.
Область определения функции не является симметричной относительно начала координат (например, точка $x=2$ принадлежит области определения, а точка $x=-2$ — нет).
Так как обязательное условие симметричности области определения не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: Функция ни чётная, ни нечётная.

2) $y = x^4 + x$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.
Найдём $y(-x)$: $y(-x) = (-x)^4 + (-x) = x^4 - x$.
Сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$:
$y(-x) = x^4 - x \neq y(x) = x^4 + x$ (равенство выполняется только при $x=0$).
$y(-x) = x^4 - x \neq -y(x) = -(x^4 + x) = -x^4 - x$.
Так как ни условие чётности $y(-x) = y(x)$, ни условие нечётности $y(-x) = -y(x)$ не выполняются для всех $x$ из области определения, функция является функцией общего вида.

Ответ: Функция ни чётная, ни нечётная.

3) $y = \sqrt{7 - x} + \sqrt{7 + x}$

Найдём область определения функции. По определению корня, подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $\begin{cases} 7 - x \ge 0 \\ 7 + x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 7 \\ x \ge -7 \end{cases}$.
Следовательно, $D(y) = [-7; 7]$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.
Найдём $y(-x)$: $y(-x) = \sqrt{7 - (-x)} + \sqrt{7 + (-x)} = \sqrt{7 + x} + \sqrt{7 - x}$.
Сравнивая $y(-x)$ и $y(x)$, видим, что $y(-x) = y(x)$.
Следовательно, функция является чётной.

Ответ: Функция чётная.

3.

1) $f$ — чётная функция;

Если функция $f(x)$ чётная, то $f(x) = f(-x)$. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
Это означает, что множество значений, которые функция принимает на отрезке $[3; 6]$, в точности совпадает с множеством значений, которые она принимает на симметричном отрезке $[-6; -3]$.
Таким образом, минимальное и максимальное значения на этих отрезках будут одинаковыми.
$\min_{[3;6]} f(x) = \min_{[-6;-3]} f(x) = 1$.
$\max_{[3;6]} f(x) = \max_{[-6;-3]} f(x) = 4$.

Ответ: $\min_{[3;6]} f(x) = 1$, $\max_{[3;6]} f(x) = 4$.

2) $f$ — нечётная функция.

Если функция $f(x)$ нечётная, то $f(-x) = -f(x)$, или $f(x) = -f(-x)$. График такой функции симметричен относительно начала координат.
Пусть $x \in [3; 6]$. Тогда $-x \in [-6; -3]$.
По условию, для любого $t \in [-6; -3]$ выполняется неравенство $1 \le f(t) \le 4$.
Так как $-x \in [-6; -3]$, то $1 \le f(-x) \le 4$.
Используем свойство нечётности $f(x) = -f(-x)$. Умножим неравенство $1 \le f(-x) \le 4$ на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$-1 \ge -f(-x) \ge -4$, что эквивалентно $-4 \le -f(-x) \le -1$.
Заменяя $-f(-x)$ на $f(x)$, получаем $-4 \le f(x) \le -1$ для всех $x \in [3; 6]$.
Следовательно, $\min_{[3;6]} f(x) = -4$ и $\max_{[3;6]} f(x) = -1$.

Ответ: $\min_{[3;6]} f(x) = -4$, $\max_{[3;6]} f(x) = -1$.

4.

Дано биквадратное уравнение $x^4 - ax^2 + a^2 - a - 2 = 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$.
Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$: $t^2 - at + (a^2 - a - 2) = 0$.
Проанализируем, сколько корней $x$ соответствует корням $t$:

• Если $t > 0$, то $x^2 = t$ даёт два различных корня $x = \pm\sqrt{t}$.
• Если $t = 0$, то $x^2 = 0$ даёт один корень $x = 0$.
• Если $t < 0$, то $x^2 = t$ не имеет действительных корней.

Для того чтобы исходное уравнение имело ровно три корня, необходимо, чтобы квадратное уравнение относительно $t$ имело два неотрицательных корня, один из которых равен нулю, а другой — строго положителен. То есть, $t_1 = 0$ и $t_2 > 0$.
Если один из корней квадратного уравнения равен нулю ($t_1 = 0$), то его свободный член должен быть равен нулю: $a^2 - a - 2 = 0$.
Решим это уравнение относительно $a$: $(a-2)(a+1) = 0$.
Получаем два возможных значения параметра: $a = 2$ и $a = -1$.
Теперь найдём второй корень $t_2$ для каждого из этих значений $a$. Воспользуемся теоремой Виета, согласно которой сумма корней $t_1 + t_2 = a$.
Так как $t_1 = 0$, то $t_2 = a$.
По нашему условию, второй корень должен быть строго положителен: $t_2 > 0$, следовательно, $a > 0$.
Сравним найденные значения $a$ с этим условием:

• Если $a=2$, то $t_2 = 2$. Условие $t_2 > 0$ выполнено. Корни для $t$: $t_1 = 0, t_2 = 2$. Корни для $x$: $x=0, x=\pm\sqrt{2}$. Всего три корня. Это значение нам подходит.
• Если $a=-1$, то $t_2 = -1$. Условие $t_2 > 0$ не выполнено. В этом случае корни для $t$ будут $t_1 = 0, t_2 = -1$. Единственный действительный корень для $x$ будет $x=0$. Это значение нам не подходит.

Таким образом, единственное значение параметра, при котором уравнение имеет три корня, это $a=2$.

Ответ: $a=2$.