Номер 10, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 10, страница 22.

Условие.

Самостоятельная работа № 10

Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки

1. При каких значениях параметра $a$ все корни уравнения $x^2 + (3a - 4) x - 12a = 0$ принадлежат промежутку $(-1; 5)$?

2. Найдите все значения параметра $a$, при которых один из корней квадратного уравнения $ax^2 - x + 2 = 0$ больше $-3$, а другой меньше $-3$.

3. При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x^2 + (2a + 8) x + a^2 - 3a - 10 = 0$ являются отрицательными числами?

Решение.

1.

Дано квадратное уравнение $x^2 + (3a - 4)x - 12a = 0$.

Для нахождения корней вычислим дискриминант $D$:

$D = (3a - 4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12a) = 9a^2 - 24a + 16 + 48a = 9a^2 + 24a + 16 = (3a + 4)^2$.

Поскольку $D = (3a + 4)^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, уравнение всегда имеет корни.

Найдем корни уравнения по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-(3a - 4) \pm \sqrt{(3a + 4)^2}}{2} = \frac{4 - 3a \pm (3a + 4)}{2}$.

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = \frac{4 - 3a + (3a + 4)}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{4 - 3a - (3a + 4)}{2} = \frac{4 - 3a - 3a - 4}{2} = \frac{-6a}{2} = -3a$.

Согласно условию задачи, оба корня должны принадлежать промежутку $(-1; 5)$.

Проверим корень $x_1 = 4$. Неравенство $-1 < 4 < 5$ является верным, следовательно, первый корень всегда находится в заданном промежутке.

Теперь наложим ограничение на второй корень $x_2 = -3a$:

$-1 < -3a < 5$.

Разделим все части этого двойного неравенства на $-3$, изменив знаки неравенства на противоположные:

$\frac{-1}{-3} > a > \frac{5}{-3}$

$\frac{1}{3} > a > -\frac{5}{3}$

Запишем в стандартном виде: $-\frac{5}{3} < a < \frac{1}{3}$.

Ответ: $a \in (-\frac{5}{3}; \frac{1}{3})$.

2.

Дано квадратное уравнение $ax^2 - x + 2 = 0$.

Условие, что один из корней больше $-3$, а другой меньше $-3$, означает, что число $-3$ лежит строго между корнями уравнения.

Рассмотрим функцию $f(x) = ax^2 - x + 2$. Для того чтобы число $k$ находилось между корнями квадратного уравнения, необходимо и достаточно выполнения условия $a \cdot f(k) < 0$. Это условие также гарантирует, что уравнение имеет два различных действительных корня (то есть $D > 0$).

В нашем случае $k = -3$. Найдем значение функции в этой точке:

$f(-3) = a(-3)^2 - (-3) + 2 = 9a + 3 + 2 = 9a + 5$.

Теперь подставим найденное значение в основное неравенство $a \cdot f(-3) < 0$:

$a(9a + 5) < 0$.

Для решения этого неравенства найдем корни выражения $a(9a + 5) = 0$. Корнями являются $a_1 = 0$ и $a_2 = -\frac{5}{9}$.

Графиком функции $y=a(9a+5)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны между ее корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $(-\frac{5}{9}; 0)$.

Заметим, что при $a=0$ исходное уравнение становится линейным и не может иметь два корня. Полученный интервал не содержит $a=0$.

Ответ: $a \in (-\frac{5}{9}; 0)$.

3.

Дано уравнение $x^2 + (2a + 8)x + a^2 - 3a - 10 = 0$.

Для того чтобы оба корня, $x_1$ и $x_2$, были отрицательными, необходимо и достаточно выполнение трех условий одновременно: во-первых, уравнение должно иметь действительные корни (дискриминант $D \ge 0$), во-вторых, сумма корней должна быть отрицательной ($x_1 + x_2 < 0$), и в-третьих, произведение корней должно быть положительным ($x_1 \cdot x_2 > 0$).

Рассмотрим каждое условие по отдельности, используя теорему Виета.

Первое условие: $D \ge 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (2a + 8)^2 - 4(a^2 - 3a - 10) = 4a^2 + 32a + 64 - 4a^2 + 12a + 40 = 44a + 104$.

Решим неравенство $44a + 104 \ge 0$: $44a \ge -104$, откуда $a \ge -\frac{104}{44} = -\frac{26}{11}$.

Второе условие: $x_1 + x_2 < 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -(2a + 8)$.

Решим неравенство $-(2a + 8) < 0$: $2a + 8 > 0$, $2a > -8$, откуда $a > -4$.

Третье условие: $x_1 \cdot x_2 > 0$.

По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = a^2 - 3a - 10$.

Решим неравенство $a^2 - 3a - 10 > 0$. Корнями соответствующего уравнения $a^2 - 3a - 10 = 0$ являются $a_1 = 5$ и $a_2 = -2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $(a-5)(a+2) > 0$ выполняется при $a \in (-\infty; -2) \cup (5; \infty)$.

Теперь необходимо найти значения $a$, удовлетворяющие всем трем условиям одновременно: $a \ge -\frac{26}{11}$, $a > -4$ и $a \in (-\infty; -2) \cup (5; \infty)$.

Так как $-\frac{26}{11} \approx -2.36$, а $-4 < -2.36$, то первые два неравенства можно заменить одним более сильным: $a \ge -\frac{26}{11}$.

Ищем пересечение множеств $[-\frac{26}{11}; \infty)$ и $((-\infty; -2) \cup (5; \infty))$.

Пересечение с интервалом $(-\infty; -2)$ дает промежуток $[-\frac{26}{11}; -2)$.

Пересечение с интервалом $(5; \infty)$ дает промежуток $(5; \infty)$.

Итоговое решение является объединением этих двух промежутков.

Ответ: $a \in [-\frac{26}{11}; -2) \cup (5; \infty)$.