Номер 14, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 14, страница 24.

Условие.

Самостоятельная работа № 14

Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными

Решите систему уравнений:

1) $$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{15}{4}, \\ 2x - 5y = 9; \end{cases} $$2) $$ \begin{cases} \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{y^2 + 4} = 6, \\ x^2 + y^2 = 26; \end{cases} $$3) $$ \begin{cases} x^2 + 3xy - 10y^2 = 0, \\ x^2 + 2xy - y^2 = 28; \end{cases} $$4) $$ \begin{cases} x - y + xy = 10, \\ xy(x - y) = 16. \end{cases} $$

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{15}{4} \\ 2x - 5y = 9 \end{cases} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0, y \neq 0$.

В первом уравнении сделаем замену переменной. Пусть $ t = \frac{x}{y} $. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$. Уравнение примет вид:

$ t - \frac{1}{t} = \frac{15}{4} $

Умножим обе части уравнения на $4t$ (так как $t \neq 0$):

$ 4t^2 - 4 = 15t $

$ 4t^2 - 15t - 4 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4(4)(-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2$.

$ t_1 = \frac{15 - 17}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} $

$ t_2 = \frac{15 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4 $

Теперь вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = 4$, откуда $x = 4y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $2x - 5y = 9$:

$ 2(4y) - 5y = 9 $

$ 8y - 5y = 9 $

$ 3y = 9 \Rightarrow y = 3 $

Тогда $x = 4y = 4 \cdot 3 = 12$.

Получили первую пару решений: $(12; 3)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -\frac{1}{4}$, откуда $y = -4x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $2x - 5y = 9$:

$ 2x - 5(-4x) = 9 $

$ 2x + 20x = 9 $

$ 22x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{22} $

Тогда $y = -4x = -4 \cdot \frac{9}{22} = -\frac{18}{11}$.

Получили вторую пару решений: $(\frac{9}{22}; -\frac{18}{11})$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(12; 3)$, $(\frac{9}{22}; -\frac{18}{11})$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{y^2 + 4} = 6 \\ x^2 + y^2 = 26 \end{cases} $

ОДЗ: $x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 4 \Rightarrow |x| \ge 2$. Выражение $y^2 + 4$ всегда положительно.

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x^2 - 4}$ и $b = \sqrt{y^2 + 4}$. Заметим, что $a \ge 0$ и $b \ge \sqrt{0+4} = 2$.

Из замены следует, что $a^2 = x^2 - 4 \Rightarrow x^2 = a^2 + 4$ и $b^2 = y^2 + 4 \Rightarrow y^2 = b^2 - 4$.

Подставим эти выражения во второе уравнение системы:

$ (a^2 + 4) + (b^2 - 4) = 26 \Rightarrow a^2 + b^2 = 26 $

Первое уравнение системы в новых переменных: $a + b = 6$.

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} a + b = 6 \\ a^2 + b^2 = 26 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b = 6 - a$ и подставим во второе:

$ a^2 + (6 - a)^2 = 26 $

$ a^2 + 36 - 12a + a^2 = 26 $

$ 2a^2 - 12a + 10 = 0 $

$ a^2 - 6a + 5 = 0 $

По теореме Виета находим корни: $a_1 = 1$, $a_2 = 5$.

Найдем соответствующие значения $b$:

Если $a_1 = 1$, то $b_1 = 6 - 1 = 5$.

Если $a_2 = 5$, то $b_2 = 6 - 5 = 1$.

Проверим решения по условиям $a \ge 0$ и $b \ge 2$.

Пара $(a_1, b_1) = (1, 5)$ подходит, так как $1 \ge 0$ и $5 \ge 2$.

Пара $(a_2, b_2) = (5, 1)$ не подходит, так как $b=1$, что противоречит условию $b \ge 2$.

Итак, у нас есть единственное решение для $a$ и $b$: $a = 1, b = 5$.

Вернемся к исходным переменным:

$ \sqrt{x^2 - 4} = 1 \Rightarrow x^2 - 4 = 1 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm\sqrt{5} $

$ \sqrt{y^2 + 4} = 5 \Rightarrow y^2 + 4 = 25 \Rightarrow y^2 = 21 \Rightarrow y = \pm\sqrt{21} $

Проверим ОДЗ: $| \pm\sqrt{5} | = \sqrt{5} \ge 2$ (так как $5 \ge 4$). Условие выполнено.

Ответ: $(\sqrt{5}; \sqrt{21})$, $(\sqrt{5}; -\sqrt{21})$, $(-\sqrt{5}; \sqrt{21})$, $(-\sqrt{5}; -\sqrt{21})$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 3xy - 10y^2 = 0 \\ x^2 + 2xy - y^2 = 28 \end{cases} $

Первое уравнение является однородным уравнением второй степени. Рассмотрим случай $y=0$. Тогда из первого уравнения получаем $x^2 = 0$, то есть $x=0$. Пара $(0;0)$ не является решением второго уравнения ($0 \neq 28$). Следовательно, $y \neq 0$.

Разделим первое уравнение на $y^2$:

$ (\frac{x}{y})^2 + 3(\frac{x}{y}) - 10 = 0 $

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$ t^2 + 3t - 10 = 0 $

По теореме Виета находим корни: $t_1 = -5$, $t_2 = 2$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = -5$, откуда $x = -5y$.

Подставим во второе уравнение системы:

$ (-5y)^2 + 2(-5y)y - y^2 = 28 $

$ 25y^2 - 10y^2 - y^2 = 28 $

$ 14y^2 = 28 \Rightarrow y^2 = 2 \Rightarrow y = \pm\sqrt{2} $

Если $y = \sqrt{2}$, то $x = -5\sqrt{2}$.

Если $y = -\sqrt{2}$, то $x = 5\sqrt{2}$.

Получили две пары решений: $(-5\sqrt{2}; \sqrt{2})$ и $(5\sqrt{2}; -\sqrt{2})$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.

Подставим во второе уравнение системы:

$ (2y)^2 + 2(2y)y - y^2 = 28 $

$ 4y^2 + 4y^2 - y^2 = 28 $

$ 7y^2 = 28 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2 $

Если $y = 2$, то $x = 2 \cdot 2 = 4$.

Если $y = -2$, то $x = 2 \cdot (-2) = -4$.

Получили еще две пары решений: $(4; 2)$ и $(-4; -2)$.

Ответ: $(-5\sqrt{2}; \sqrt{2})$, $(5\sqrt{2}; -\sqrt{2})$, $(4; 2)$, $(-4; -2)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y + xy = 10 \\ xy(x - y) = 16 \end{cases} $

Сделаем замену переменных. Пусть $a = x - y$ и $b = xy$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} a + b = 10 \\ ab = 16 \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 10z + 16 = 0$.

Находим корни: $z_1 = 2, z_2 = 8$.

Таким образом, возможны два случая для пар $(a, b)$.

Случай 1: $a = 2, b = 8$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$ \begin{cases} x - y = 2 \\ xy = 8 \end{cases} $

Из первого уравнения $x = y + 2$. Подставляем во второе:

$ (y + 2)y = 8 \Rightarrow y^2 + 2y - 8 = 0 $

Корни этого уравнения: $y_1 = 2, y_2 = -4$.

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 2 = 4$.

Если $y_2 = -4$, то $x_2 = -4 + 2 = -2$.

Получили две пары решений: $(4; 2)$ и $(-2; -4)$.

Случай 2: $a = 8, b = 2$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$ \begin{cases} x - y = 8 \\ xy = 2 \end{cases} $

Из первого уравнения $x = y + 8$. Подставляем во второе:

$ (y + 8)y = 2 \Rightarrow y^2 + 8y - 2 = 0 $

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = 8^2 - 4(1)(-2) = 64 + 8 = 72 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} $

$ y = \frac{-8 \pm 6\sqrt{2}}{2} = -4 \pm 3\sqrt{2} $

Если $y_3 = -4 + 3\sqrt{2}$, то $x_3 = (-4 + 3\sqrt{2}) + 8 = 4 + 3\sqrt{2}$.

Если $y_4 = -4 - 3\sqrt{2}$, то $x_4 = (-4 - 3\sqrt{2}) + 8 = 4 - 3\sqrt{2}$.

Получили еще две пары решений: $(4 + 3\sqrt{2}; -4 + 3\sqrt{2})$ и $(4 - 3\sqrt{2}; -4 - 3\sqrt{2})$.

Ответ: $(4; 2)$, $(-2; -4)$, $(4 + 3\sqrt{2}; -4 + 3\sqrt{2})$, $(4 - 3\sqrt{2}; -4 - 3\sqrt{2})$.