Номер 20, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 20, страница 26.

Условие.

Самостоятельная работа № 20

Процентные расчёты

1. После двух последовательных повышений цены на $30\%$ шкаф стал стоить $5\,070$ р. Найдите первоначальную цену шкафа.

2. Сколько килограммов воды надо добавить к $7,5$ кг раствора, содержащего $20\%$ соли, чтобы получить раствор, содержащий $12\%$ соли?

3. Вкладчик положил в банк $40\,000$ р. За первый год ему был начислен некоторый процент годовых, а во второй год банковская ставка была уменьшена на $6\%$. В конце второго года на счёте оказалось $45\,760$ р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Решение.

1.

Пусть $x$ — первоначальная цена шкафа в рублях.

После первого повышения цены на 30% цена стала равной:

$x \times (1 + \frac{30}{100}) = x \times 1.3 = 1.3x$

Затем цена была повышена ещё раз на 30%, но уже от новой, увеличенной цены:

$1.3x \times (1 + \frac{30}{100}) = 1.3x \times 1.3 = 1.69x$

По условию, конечная цена шкафа составила 5 070 рублей. Составим и решим уравнение:

$1.69x = 5070$

$x = \frac{5070}{1.69}$

$x = \frac{507000}{169}$

$x = 3000$

Таким образом, первоначальная цена шкафа составляла 3 000 рублей.

Ответ: 3 000 р.

2.

Сначала найдём массу соли в исходном растворе. Масса раствора 7,5 кг, а содержание соли в нём 20%.

Масса соли = $7.5 \text{ кг} \times \frac{20}{100} = 7.5 \times 0.2 = 1.5 \text{ кг}$.

При добавлении воды масса соли в растворе не меняется, она остаётся равной 1,5 кг. Изменяется только общая масса раствора и, соответственно, процентное содержание соли.

Пусть $w$ — масса воды (в кг), которую нужно добавить. Тогда новая масса раствора станет $(7.5 + w)$ кг.

Новый раствор должен содержать 12% соли. Составим пропорцию, где масса соли относится к новой массе раствора как 12 к 100:

$\frac{1.5}{7.5 + w} = \frac{12}{100}$

$\frac{1.5}{7.5 + w} = 0.12$

Решим это уравнение:

$1.5 = 0.12 \times (7.5 + w)$

$1.5 = 0.12 \times 7.5 + 0.12w$

$1.5 = 0.9 + 0.12w$

$1.5 - 0.9 = 0.12w$

$0.6 = 0.12w$

$w = \frac{0.6}{0.12} = \frac{60}{12} = 5$

Следовательно, нужно добавить 5 кг воды.

Ответ: 5 кг.

3.

Пусть $S_0 = 40000$ рублей — первоначальный вклад.

Пусть $p$ — банковская ставка в первый год в процентах. Тогда коэффициент, на который увеличивается вклад за первый год, равен $(1 + \frac{p}{100})$.

Сумма на счёте в конце первого года ($S_1$):

$S_1 = S_0 \times (1 + \frac{p}{100}) = 40000 \times (1 + \frac{p}{100})$

Во второй год банковская ставка была уменьшена на 6 процентных пунктов и стала равна $(p - 6)\%$. Коэффициент для второго года: $(1 + \frac{p-6}{100})$.

Сумма на счёте в конце второго года ($S_2$):

$S_2 = S_1 \times (1 + \frac{p-6}{100}) = 40000 \times (1 + \frac{p}{100}) \times (1 + \frac{p-6}{100})$

По условию, $S_2 = 45760$ рублей. Подставим это значение в уравнение:

$45760 = 40000 \times (1 + \frac{p}{100}) \times (1 + \frac{p-6}{100})$

Для удобства введём замену $x = \frac{p}{100}$. Тогда $\frac{p-6}{100} = x - 0.06$. Уравнение примет вид:

$45760 = 40000 \times (1 + x) \times (1 + x - 0.06)$

Разделим обе части на 40000:

$\frac{45760}{40000} = (1 + x)(1 + x - 0.06)$

$1.144 = (1 + x)(0.94 + x)$

$1.144 = 0.94 + x + 0.94x + x^2$

$x^2 + 1.94x + 0.94 - 1.144 = 0$

$x^2 + 1.94x - 0.204 = 0$

Альтернативный, более простой способ раскрытия скобок: пусть $y = 1+x$. Тогда $1+x-0.06 = y-0.06$.

$1.144 = y(y - 0.06)$

$1.144 = y^2 - 0.06y$

$y^2 - 0.06y - 1.144 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-0.06)^2 - 4 \times 1 \times (-1.144) = 0.0036 + 4.576 = 4.5796$.

Найдём корень из дискриминанта: $\sqrt{4.5796} = 2.14$.

Найдём корни уравнения:

$y_1 = \frac{-(-0.06) + 2.14}{2 \times 1} = \frac{0.06 + 2.14}{2} = \frac{2.2}{2} = 1.1$

$y_2 = \frac{-(-0.06) - 2.14}{2 \times 1} = \frac{0.06 - 2.14}{2} = \frac{-2.08}{2} = -1.04$

Так как $y = 1+x = 1 + \frac{p}{100}$, а процентная ставка $p$ должна быть положительной, то $y$ должен быть больше 1. Поэтому корень $y_2 = -1.04$ не подходит.

Используем корень $y_1 = 1.1$:

$1+x = 1.1$

$x = 0.1$

Теперь вернёмся к первоначальной переменной $p$:

$x = \frac{p}{100}$

$0.1 = \frac{p}{100}$

$p = 0.1 \times 100 = 10$

Таким образом, банковская ставка в первый год составляла 10%.

Ответ: 10%.